Question

宇航員在某一未知星球表面完成下面實驗：如圖所示，在固定的豎直光滑圓弧軌道內部的最低點，有一質量為m的小球（可視為質點），現(xiàn)給小球水平初速度v₀，使小球在豎直平面內做圓周運動，測得小球在最高點和最低點時所受壓力大小分別為F₁、F₂．然后他在攜帶的資料中發(fā)現(xiàn)這樣的信息：在該星球赤道上有相距路程為L的A、B兩位置，當某一時刻陽光垂直照射A處時，B處的陽光與星球表面成θ角．請你幫他完成如下計算：
（1）求出該星球表面的重力加速度；
（2）求出該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

（1）由題意根據(jù)合力提供向心力：
在最低點：F1-mg=m

v02

r

在最高點：F2+mg=m

v2

r

根據(jù)機械能守恒得：

1

2

mv02=

1

2

mv2+mg2r

解得g=

F1-F2

6m

故星球表面的重力加速度為

F1-F2

6m

．
（2）根據(jù)A、B兩點的日照情況可計算出該星球的半徑R=

L

π 2 -θ

用v表示該星球的第一宇宙速度，有
      mg=m

v2

R

得v=

gR

=

F1-F2 6m ? L π 2 -θ

故星球的第一宇宙速度為

F1-F2 6m ? L π 2 -θ

．