Question

5．用不同的方法估算銀河系的質(zhì)量，所得結(jié)果也不相同．以下是諸多估算方法中的一種．根據(jù)觀測結(jié)果估計，從銀河系中心到距離為R=3×10⁹R₀（R₀表示地球軌道半徑）的范圍內(nèi)集中了質(zhì)量M=1.5×10¹¹M₀（M₀表示太陽的質(zhì)量）在上面所指的范圍內(nèi)星體運轉(zhuǎn)的周期為T=3.75×10⁸年，求銀河系“隱藏”的質(zhì)量，即在半徑為R的球體內(nèi)未被觀察到的物質(zhì)的質(zhì)量，計算中可以認為銀河系的質(zhì)量都集中在中心．

Answer 1

分析 離銀河系中心R處的一顆星球繞銀河系中心作勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，再次根據(jù)牛頓第二定律列式求解出天體的質(zhì)量．對地球，同樣運用萬有引力等于向心力列式；最后聯(lián)立求解即可

解答 解：離銀河系中心R處的一顆星球繞銀河系中心作勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，可得：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{4×{π}_{\;}^{2}×（3×1{0}_{\;}^{9}{R}_{0}^{\;}）_{\;}^{3}}{G×（3.75×1{0}_{\;}^{8}{T}_{0}^{\;}）_{\;}^{2}}$①
對地球，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$G\frac{{M}_{0}^{\;}m}{{R}_{0}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{0}^{2}}{R}_{0}^{\;}$
解得：${M}_{0}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{0}^{3}}{G{T}_{0}^{2}}②$
聯(lián)立解得：$M=1.9×1{0}_{\;}^{11}kg$
“隱藏”的質(zhì)量$△M=1.9×1{0}_{\;}^{11}-1.5×1{0}_{\;}^{11}=4.0×1{0}_{\;}^{10}kg$
答：銀河系“隱藏”的質(zhì)量，即在半徑為R的球體內(nèi)未被觀察到的物質(zhì)的質(zhì)量為$4.0×1{0}_{\;}^{10}{M}_{0}^{\;}$

點評 本題關(guān)鍵明確環(huán)繞天體受到的引力提供向心力，然后根據(jù)牛頓第二定律列方程求解出周期表達式后分析，計算較繁瑣，要細心．