Question

18．一轉(zhuǎn)動(dòng)裝置如圖甲所示，兩根足夠長(zhǎng)輕桿OA、OB固定在豎直輕質(zhì)轉(zhuǎn)軸上的O點(diǎn)，兩輕桿與轉(zhuǎn)軸間夾角均為30°，小球a、b分別套在兩桿上，小環(huán)c套在轉(zhuǎn)軸上，球與環(huán)質(zhì)量均為m，c與a、b間均用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線相連，原長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)彈簧套在轉(zhuǎn)軸上，且與軸上P點(diǎn)、環(huán)c相連．當(dāng)裝置以某一轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)到$\frac{3}{2}L$，環(huán)c靜止在O處，此時(shí)彈簧彈力等于環(huán)的重力，球、環(huán)間的細(xì)線剛好拉直而無(wú)張力．彈簧始終在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦和空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）細(xì)線剛好拉直而無(wú)張力時(shí)，裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₁；
（2）如圖乙所示，該裝置以角速度ω² （未知）勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，彈簧長(zhǎng)為$\frac{L}{2}$，求此時(shí)桿對(duì)小球的彈力大�。�
（3）該裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度由ω₁緩慢變化到ω₂，求該過(guò)程外界對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)裝置做的功．

Answer 1

分析 （1）細(xì)線剛好拉直而無(wú)張力時(shí)，球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力和桿的支持力的合力提供，由牛頓第二定律和向心力公式求裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₁．
（2）彈簧長(zhǎng)度從$\frac{3}{2}$L緩慢縮短為$\frac{1}{2}$L的過(guò)程中，彈簧的彈力大小不變，對(duì)球a，根據(jù)平衡平衡求桿對(duì)小球的彈力大小．
（3）球a做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由向心力公式求出角速度為ω₂時(shí)的線速度．由功能關(guān)系求解該過(guò)程外界對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)裝置做的功．

解答 解：（1）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由向心力公式有：
  mgtan60°=mω₁²Lsin30°
解得：角速度ω₁=$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}g}{L}}$
（2）對(duì)環(huán)c．由豎起方向力平衡得：2F_線cos60°=mg+F_彈；
由題，彈簧拉伸和壓縮的形變量相同，則F_彈=mg
對(duì)球a：豎直方向有 F_Nsin30°=mg+2F_線sin30°
解得，彈力 F_N=4mg
（3）球a做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)向心力公式有：
  F_Ncos30°+F_線cos30°=mω₂²Lcos30°
a球的線速度 v₂=ω₂Lcos30°
整個(gè)過(guò)程彈簧彈性勢(shì)能的變化量為零，彈簧彈力做的功為零，對(duì)系統(tǒng)，由功能關(guān)系得：
   W=△E_p+△E_k=mg（$\frac{3L}{2}-\frac{L}{2}$）+2mg（$\frac{3L}{2}$-$\frac{\sqrt{3}L}{2}$）+2×$\frac{1}{2}m$[（ω₂Lcos30°）²-（ω₁$\frac{L}{2}$）²]=$\frac{17-3\sqrt{3}}{2}$mgL
答：
（1）細(xì)線剛好拉直而無(wú)張力時(shí)，裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω₁是$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}g}{L}}$．
（2）此時(shí)桿對(duì)小球的彈力大小是4mg；
（3）該裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度由ω₁緩慢變化到ω₂，該過(guò)程外界對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)裝置做的功是$\frac{17-3\sqrt{3}}{2}$mgL．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律、共點(diǎn)力平衡和胡克定律的運(yùn)用，當(dāng)裝置轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，抓住小環(huán)平衡，小球在豎直方向上平衡，水平方向上的合力提供向心力進(jìn)行求解．