Question

13．有人設計了一種可測速的機械式跑步，測速原理如圖所示，該機底面固定有間距為L=1.0m，長度為d的平行金屬電極．電極間充滿磁感應強度為B=0.50T、方向垂直紙面向里的勻強磁場，且接有電壓表和阻值為R=0.40Ω的電阻．絕緣橡膠帶上嵌有間距為d的平行細金屬條，磁場中始終僅有一根金屬條，且與電極接觸良好．金屬條電阻為r=0.10Ω，已知橡膠帶所受的等效水平阻力為f=10.0N．設人在跑動時對橡膠帶做功的功率恒定，在開關打開時，某人在上面跑動，當橡膠帶的速度達到勻速時，電壓表的讀數(shù)為U₀=2.00V，求：
（1）橡膠帶此時運行的速率；
（2）若此時再將開關閉合，請問電壓表的讀數(shù)最終是多少？（人始終在橡膠帶上跑動）
（3）證明在上述過程中，克服安培力所做的功等于電路中所消耗的電能；
（4）在開關閉合，電壓表讀數(shù)穩(wěn)定后的某時刻，跑步機顯示人的跑動里程是s=420m，跑步的時間是t=120s，已知橡膠帶與金屬條的總質(zhì)量是m=5.0kg，不計由橡膠帶帶動的輪子的質(zhì)量．求t時間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導體切割磁感應線產(chǎn)生的感應電動勢計算公式求解速度大��；
（2）根據(jù)平衡條件結合功率與速度關系、安培力的計算公式、閉合電路的歐姆定律求解；
（3）根據(jù)P₁=F_安v計算克服安培力做功功率，電路中消耗的功率為P=EI，由此證明克服安培力所做的功等于電路中所消耗的電能；
（4）根據(jù)能量關系Pt=fs+$\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$求解產(chǎn)生的總熱量，再根據(jù)焦耳定律得到電阻R上產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）設電動勢為E，橡膠帶運動速率為v，由導體切割磁感應線產(chǎn)生的感應電動勢計算公式可得：
U₀=E=BLv₀，
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=4.0m/s；
（2）若此時開關閉合，電路接通，金屬條會受到安培力的作用，最終當人對橡膠帶的水平作用力與安培力和阻力之和平衡時，電壓表的讀數(shù)不再變化，設勻速運動的速度為v；
根據(jù)平衡條件可得：F=f+BIL，
而F=$\frac{P}{v}=\frac{f{v}_{0}}{v}$=$\frac{f{U}_{0}}{BLv}$，
安培力為：BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
所以有：$\frac{f{U}_{0}}{BLv}$=f+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v=3.42m/s，
由于E=BLv，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得：U=$\frac{E}{R+r}R$=1.37V；
（3）設某時刻的瞬時速度為v，則安培力的瞬時功率為：
P₁=F_安v=BILv=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，
與瞬時速度v對應的感應電動勢為：
E=BLv，
則電流強度為：
I=$\frac{BLv}{R+r}$，
電路中消耗的功率為：
P=EI=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，
任意時刻兩者的功率相等，則任意時間內(nèi)安培力做的功等于電路中消耗的電能；
（4）根據(jù)能量關系可得：Pt=fs+$\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$，
代入數(shù)據(jù)解得：Q=571J，
則電阻R上產(chǎn)生的熱量為：
Q_R=$\frac{R}{R+r}Q=457J$．
答：（1）橡膠帶此時運行的速率為4.0m/s；
（2）若此時再將開關閉合，電壓表的讀數(shù)最終是1.37V；
（3）證明見解析；
（4）t時間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量為457J．

點評 對于電磁感應問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下導體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應現(xiàn)象中的能量轉化問題，根據(jù)動能定理、功能關系等列方程求解．