Question

15．嘉年華上有一種回力球游戲，如圖所示，A、B分別為一固定在豎直平面內(nèi)的光滑半圓形軌道的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，B點(diǎn)距水平地面的高度為h，某人在水平地面C點(diǎn)處以某一初速度拋出一個(gè)質(zhì)量為 m的小球，小球恰好水平進(jìn)入半圓軌道內(nèi)側(cè)的最低點(diǎn)B，并恰好能過(guò)最高點(diǎn)A后水平拋出，又恰好回到C點(diǎn)拋球人手中．若不計(jì)空氣阻力，已知當(dāng)?shù)刂亓�加速度為g，求：
（1）小球剛進(jìn)入半圓形軌道最低點(diǎn)B時(shí)軌道對(duì)小球的支持力；
（2）半圓形軌道的半徑；
（3）小球拋出時(shí)的初速度大小．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)A，根據(jù)牛頓第二定律求出在A點(diǎn)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出B點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大�。�
（2）C到B的逆過(guò)程為平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，抓住A到C和C到B的水平位移相等，求出半圓形軌道的半徑．
（3）對(duì)C到B的過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出拋出時(shí)的初速度大小．

解答 解：（1）設(shè)半圓形軌道的半徑為R，小球經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度為v_A，小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為v_B，小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小球的支持力為N．
在A點(diǎn)：mg=$m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
解得：${v}_{A}=\sqrt{gR}$，
從B點(diǎn)到A點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：$-mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{5gR}$．
在B點(diǎn)：N-mg=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
解得：N=6mg，方向?yàn)樨Q直向上．
（2）C到B的逆過(guò)程為平拋運(yùn)動(dòng)，有：h=$\frac{1}{2}g{{t}_{BC}}^{2}$，
A到C的過(guò)程，有：$h+2R=\frac{1}{2}g{{t}_{AC}}^{2}$，
又v_Bt_BC=v_At_AC，
解得：R=2h．
（3）設(shè)小球拋出時(shí)的初速度大小為v₀，從C到B的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$-mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：${v}_{0}=\sqrt{12gh}$．
答：（1）小球剛進(jìn)入半圓形軌道最低點(diǎn)B時(shí)軌道對(duì)小球的支持力為6mg；
（2）半圓形軌道的半徑為2h；
（3）小球拋出時(shí)的初速度大小為$\sqrt{12gh}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、牛頓定律與平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源以及平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．