Question

20．如圖，絕緣軌道的斜面部分傾角為θ=45°，O處由一段小弧平滑連接．點(diǎn)O的右側(cè)空間存在著豎直向上的勻強(qiáng)電場，在OF之間存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)電場，在F右側(cè)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，一質(zhì)量為m，電荷量為q的絕緣小球從光滑軌道的A點(diǎn)無初速度釋放，經(jīng)過O點(diǎn)后恰好能從G點(diǎn)（GD兩點(diǎn)在同一水平線上）射出．已知電場強(qiáng)度E=$\frac{mg}{q}$，左右兩側(cè)磁場的磁感強(qiáng)度大小均為B，DE為一處于場中的豎直擋板，OF=FC=CD=DE=L，求：
（1）小球開始釋放的高度是多少？
（2）要使小球打在DE擋板上，則小球m在斜面上離O點(diǎn)的多大范圍內(nèi)靜止釋放．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題求出小球在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，由牛頓第二定律求出小球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度，然后由機(jī)械能守恒定律求出小球釋放點(diǎn)的高度．
（2）應(yīng)用牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律求出小球釋放點(diǎn)的兩個(gè)臨界高度，然后求出釋放點(diǎn)到O點(diǎn)的臨界距離，然后確定距離范圍．

解答 解：（1）小球在電磁場中受到豎直向下的重力mg，豎直向上的電場力：qE=mg，
重力與電場力合力為零，則小球在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
小球恰好能從G點(diǎn)射出磁場，則小球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：r₁=$\frac{L}{2}$，
由牛頓第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
小球從A到O過程，由機(jī)械能守恒定律得：mgh₁=$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得：h₁=$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{8{m}^{2}g}$；
（2）①如果小球打在E點(diǎn)，則小球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：r=L，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
小球湊個(gè)釋放到O點(diǎn)過程，由機(jī)械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}$mv²，
解得：h=$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{2{m}^{2}g}$；
②如果小球打在D點(diǎn)，由幾何知識(shí)得：r′²=L²+（r$′-\frac{L}{2}$）²，
由牛頓第二定律得：qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r′}$，
小球湊個(gè)釋放到O點(diǎn)過程，由機(jī)械能守恒定律得：mgh′=$\frac{1}{2}$mv′²，
解得：h′=$\frac{25{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{32{m}^{2}g}$；
釋放點(diǎn)距O點(diǎn)的距離：x=$\frac{h}{sin45°}$=$\sqrt{2}$h，
則釋放點(diǎn)到O點(diǎn)的距離：$\frac{\sqrt{2}{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{2{m}^{2}g}$≤x≤$\frac{25\sqrt{2}{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{32{m}^{2}g}$
答：（1）小球開始釋放的高度是：$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{8{m}^{2}g}$；
（2）要使小球打在DE擋板上，小球m在斜面上離O點(diǎn)的多大范圍是：$\frac{\sqrt{2}{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{2{m}^{2}g}$≤x≤$\frac{25\sqrt{2}{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{32{m}^{2}g}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電小球在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的關(guān)鍵，分析清楚小球的受力情況是正確解題的前提，應(yīng)用牛頓第二定律與機(jī)械能守恒定律可以解題，解題時(shí)要注意幾何知識(shí)的應(yīng)用．