Question

6．兩個(gè)星球組成雙星，它們?cè)谙嗷ブ�間的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)測(cè)得兩個(gè)星球中心距離為R，其運(yùn)動(dòng)周期為T，萬(wàn)有引力常量為G，求兩個(gè)星球的總質(zhì)量．

Answer 1

分析 雙星系統(tǒng)中，兩顆星球繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且兩者始終與圓心共線，相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度，即角速度相等，則周期也相等．但兩者做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不相等．

解答 解：設(shè)兩星質(zhì)量分別為M₁和M₂，都繞連線上O點(diǎn)作周期為T的圓周運(yùn)動(dòng)，星球1和星球2到O的距離分別為l₁和l₂．
由萬(wàn)有引力定律提供向心力：
對(duì) M₁：G$\frac{{{M}_{1}M}_{2}}{{R}^{2}}$=$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$M₁R₁…①
對(duì)M₂：G$\frac{{{M}_{1}M}_{2}}{{R}^{2}}$=$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$M₂R₂…②
由幾何關(guān)系知：R₁+R₂=R…③
三式聯(lián)立解得：M_總=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$．
答：兩個(gè)星球的總質(zhì)量是$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 處理雙星問題必須注意兩點(diǎn)：（1）兩顆星球運(yùn)行的角速度、周期相等；（2）軌道半徑不等于引力距離．弄清每個(gè)表達(dá)式中各字母的含義，在示意圖中相應(yīng)位置標(biāo)出相關(guān)量，可以最大限度減少錯(cuò)誤．