Question

20．如圖所示，豎直放置的金屬薄板M、N間距為d．絕緣水平直桿左端從N板中央的小孔穿過，與M板固接，右端處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．質(zhì)量為m、帶電量為+q的中空小球P，套在水平直桿上，緊靠M板放置，與桿的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．當(dāng)在M、N板間加上適當(dāng)?shù)碾妷篣后，P球?qū)⒀厮�平直桿從N板小孔射出，試問：
（1）此時(shí)M、N哪個(gè)板的電勢(shì)高？為什么？它們間的電勢(shì)差必須大于多少？
（2）若M、N間電壓U=$\frac{5μmgd}{q}$時(shí)，小球能沿水平直桿從N板中央小孔射入磁場(chǎng)，則射入的速率多大？若磁場(chǎng)足夠大，水平直桿足夠長(zhǎng)，則小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，摩擦力對(duì)小球做多少功？

Answer 1

分析 （1）小球P要向右從N板小孔射出，必須受到向右的電場(chǎng)力，即可判斷出電場(chǎng)方向，判斷出M、N哪個(gè)板的電勢(shì)高．電場(chǎng)力必須大于最大靜摩擦力，qE＞μmg，結(jié)合場(chǎng)強(qiáng)E與電勢(shì)差的關(guān)系，即可求出電勢(shì)差大小必須滿足的條件；
（2）小球P射入磁場(chǎng)后受到豎直向上的洛倫茲力作用，并且洛倫茲力對(duì)小球不做功，速度在摩擦力作用下會(huì)減小，引起洛倫茲力減小，引起正壓力變化，從而會(huì)引起摩擦力發(fā)生改變運(yùn)用動(dòng)能定理去求射入的速率．

解答 解：（1）因P球帶正電，只有M板電勢(shì)高于N板電勢(shì)，P球才會(huì)受到向右的電場(chǎng)力作用．才有可能向右運(yùn)動(dòng)．
故，若要小球P沿水平直桿從板間射出，必須使M板電勢(shì)高于N板電勢(shì)．  
而要使小球P能沿水平直桿從板間射出，必須使電場(chǎng)力大于小球所受的摩擦力，即
qE＞μmg  而E=$\frac{U}1166611$
故$U＞\frac{μmgd}{q}$
（2）設(shè)P球射出電場(chǎng)時(shí)的速率為v，由動(dòng)能定理得：
$qU-μmgd=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
即：$q\frac{5μmgd}{q}-μmgd=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：$v=2\sqrt{2μgd}$
小球P射入磁場(chǎng)后受到豎直向上的洛倫茲力作用，可能出現(xiàn)三種情況．
Ⅰ．qvB=mg，則小球不受摩擦力，做勻速直線運(yùn)動(dòng)．故摩擦力做功為零．
Ⅱ．qvB＞mg，則直桿對(duì)小球有向下的壓力，小球受摩擦力減速，當(dāng)減速到洛侖茲力與重力大小相等后做勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)小球勻速時(shí)的速度v_t，則qv_tB=mg
設(shè)此過程中摩擦力做的功為W，由動(dòng)能定理得：$W=\frac{1}{2}m{{v}_{t}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$         
即$W=\frac{1}{2}m{（\frac{mg}{qB}）}^{2}-\frac{1}{2}m{（2\sqrt{2μgd}）}^{2}$
解得：$W=\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{q}^{2}{B}^{2}}-4mμgd$
 $W=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：W=-4μmgd
答：（1）M板電勢(shì)高于N板電勢(shì)，它們間的電勢(shì)必須大于$\frac{μmgd}{q}$；
（2）射入的速率為$2\sqrt{2μgd}$，當(dāng)qvB=mg時(shí)，摩擦力做功為零，當(dāng)qvB＞mg時(shí)，摩擦力做功為$\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{q}^{2}{B}^{2}}-\;4mμgd$，當(dāng)qvB＜mg時(shí)，摩擦力做的功為-4μmgd．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁學(xué)的綜合問題，涉及到得知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大．特別是第二小問中有三種情況，很多同學(xué)只能分析其中的一種或兩種，出現(xiàn)遺漏情況．
要注意本題中小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的摩擦力是一個(gè)變力，求變力做功一般用動(dòng)能定理求解．