Question

9．如圖所示，真空室內(nèi)豎直條形區(qū)域I存在垂直紙面向外的勻強磁場，條形區(qū)域Ⅱ（含I、Ⅱ區(qū)域分界面）存在水平向右的勻強電場，電場強度為E，磁場和電場寬度均為L且足夠長，N為涂有熒光物質(zhì)的豎直板．現(xiàn)有一束質(zhì)子從A處連續(xù)不斷地射入磁場，入射方向與M板成60°夾角且與紙面平行，質(zhì)子束由兩部分組成，一部分為速度大小為v的低速質(zhì)子，另一部分為速度大小為3v的高速質(zhì)子，改變磁場強弱，使低速質(zhì)子剛能進入電場區(qū)域．已知質(zhì)子質(zhì)量為m，電量為e，不計質(zhì)子重力和相互作用力，求：
（1）此時I區(qū)的磁感應強度；
（2）低速質(zhì)子在磁場中運動的時間；
（3）若質(zhì)子打到N板上時會形成亮斑，則N板上兩個亮斑之間的距離為多少？

Answer 1

分析 （1）粒子恰好與交界相切，由幾何關系可得半徑大小，再由洛倫茲力提供向心力，來算出磁感應強度大��；
（2）到達N板下方亮斑的粒子，則運動半徑較小，所以是低速粒子，因此根據(jù)運動圓弧來確定圓心角，從而求出在磁場中運動時間；
（3）高速粒子在磁場中做勻速圓周運動，由幾何關系確定豎直方向的位移；當進入勻強電場做勻加速直線運動；而低速粒子在磁場中做勻速圓周運動，由幾何關系確定豎直方向的位移；進入勻強電場則做類平拋運動，因此根據(jù)平拋運動規(guī)律可得豎直方向位移，最終將位移相加求出總和．

解答 解：（1）由題意可得，低速質(zhì)子速度恰好與兩場交界相切且與電場方向垂直，如下圖所示，設此時低速質(zhì)子在磁場中運動半徑為R₁，根據(jù)幾何關系可得：
R₁+R₁cos60°=L   ①
所以R₁=$\frac{2}{3}L$  ②
由洛倫茲力提供向心力可得：$evB=m\frac{v^2}{R_1}$
可得：$B=\frac{3mv}{2eL}$③
（2）如圖所示，到達MN板下方亮斑的質(zhì)子是低速質(zhì)子，其在磁場中運動圓弧所對圓心角α=120⁰，所以：$T=\frac{{2π{R_1}}}{v}$
$t=\frac{120°}{360°}×T$
解得：$t=\frac{4πL}{9v}$④
（3）如圖所示，高速質(zhì)子軌道半徑R₂，所以有：$e（3v）B=m\frac{{{{（3v）}^2}}}{R_2}$⑤
聯(lián)立③⑤兩式可得：R₂=2L    ⑥
由幾何關系知，高速質(zhì)子做圓周運動的圓心剛好位于磁場與電場邊界線上，質(zhì)子垂直于磁場與電場邊界線進入電場，設到達MN板時與A點豎直高度差為h₁：h₁=R₂（1-sin60°）   
設低速質(zhì)子在磁場中偏轉(zhuǎn)距離h₂：h₂=R₁sin60°    ⑦
設低速質(zhì)子在電場中的運動時間為t'，則$L=\frac{1}{2}a{t'^2}$   ⑧
eE=ma   ⑨
在電場中偏轉(zhuǎn)距離h₃：h₃=vt'
聯(lián)立以上各式，可得亮斑PQ間距：h=h₁+h₂+h₃=$（{2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）L+v\sqrt{\frac{2mL}{Ee}}$
答：（1）此時I區(qū)的磁感應強度是$\frac{3mv}{2eL}$；
（2）低速質(zhì)子在磁場中運動的時間是$\frac{4πL}{9v}$；
（3）若質(zhì)子打到N板上時會形成亮斑，則N板上兩個亮斑之間的距離為$（2-\frac{2\sqrt{3}}{3}）L+v\sqrt{\frac{2mL}{Ee}}$．

點評 帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，須“畫圓弧、定圓心、求半徑”．同時利用幾何關系來確定半徑大小．
帶電粒子在勻強電場中做類平拋運動，由平拋運動規(guī)律可將運動分解，分解成的相互垂直兩運動具有等時性．