Question

5．如圖，在豎直平面內(nèi)由$\frac{1}{4}$圓弧$\widehat{AB}$和$\frac{1}{2}$圓弧$\widehat{BC}$組成的光滑固定軌道，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接．AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為$\frac{R}{2}$．一個(gè)質(zhì)量為m的小球在A點(diǎn)正上方與A相距$\frac{R}{2}$的P點(diǎn)處由靜止開(kāi)始自由下落，經(jīng)A點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道運(yùn)動(dòng)．（已知重力加速度為g）．求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大��；
（2）小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)的豎直位移．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度，在C點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道對(duì)小球的壓力，再得到小球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）小球離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式和幾何關(guān)系列式，求出平拋的時(shí)間，再求豎直位移．

解答 解：（1）小球從P到C的過(guò)程，取C點(diǎn)為參考點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得
  mg$\frac{R}{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
即得小球到達(dá)C點(diǎn)的速度 v_C=$\sqrt{gR}$
在C點(diǎn)，對(duì)小球，由牛頓第二定律得：
  N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{\frac{1}{2}R}$
解得 N=mg
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小 N′=N=mg
（2）小球離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)平拋的時(shí)間為t．則：
水平方向有   x=v_Ct
 豎直方向有 y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由幾何關(guān)系有 x²+y²=R²
聯(lián)立解得 y=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$R
答：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是mg．
（2）小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)的豎直位移是$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題要分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握小球向心力的來(lái)源，關(guān)鍵要熟練運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，并能抓住隱含的幾何關(guān)系解題．