Question

5．如圖，在豎直平面內由$\frac{1}{4}$圓弧$\widehat{AB}$和$\frac{1}{2}$圓弧$\widehat{BC}$組成的光滑固定軌道，兩者在最低點B平滑連接．AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為$\frac{R}{2}$．一個質量為m的小球在A點正上方與A相距$\frac{R}{2}$的P點處由靜止開始自由下落，經A點進入圓弧軌道運動．（已知重力加速度為g）．求：
（1）小球運動到C點時對軌道的壓力大��；
（2）小球經過C點做平拋運動的豎直位移．

Answer 1

分析 （1）根據機械能守恒定律求出小球經過C點的速度，在C點，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道對小球的壓力，再得到小球對軌道的壓力．
（2）小球離開C點后做平拋運動，根據分位移公式和幾何關系列式，求出平拋的時間，再求豎直位移．

解答 解：（1）小球從P到C的過程，取C點為參考點，由機械能守恒定律得
  mg$\frac{R}{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
即得小球到達C點的速度 v_C=$\sqrt{gR}$
在C點，對小球，由牛頓第二定律得：
  N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{\frac{1}{2}R}$
解得 N=mg
根據牛頓第三定律可知，小球運動到C點時對軌道的壓力大小 N′=N=mg
（2）小球離開C點后做平拋運動，設平拋的時間為t．則：
水平方向有   x=v_Ct
 豎直方向有 y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由幾何關系有 x²+y²=R²
聯(lián)立解得 y=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$R
答：
（1）小球運動到C點時對軌道的壓力大小是mg．
（2）小球經過C點做平拋運動的豎直位移是$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$R．

點評 本題要分析清楚小球的運動過程，把握小球向心力的來源，關鍵要熟練運用平拋運動的規(guī)律，并能抓住隱含的幾何關系解題．