Question

3．質(zhì)量為M=2kg的足夠長的水平木板靜止地放在光滑的水平面上，在其右端靜止放著一質(zhì)量為m=0.5kg的煤塊，煤塊與長木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，如圖所示．現(xiàn)對(duì)長木板施加一水平向右的恒力F=9N，經(jīng)過2s，將水平恒力大小改為3N，再經(jīng)過4s，撤去水平恒力．求最終煤塊在長木板上留下黑色痕跡的長度．（重力加速度g=10m/s²，忽略因摩擦造成煤塊質(zhì)量的變化）

Answer 1

分析 對(duì)長木板和煤塊的三種受力情況分別進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律求出加速度，然后結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可正確解答．

解答 解：選擇向右為正方向，由題意，煤塊將相對(duì)于長木板有運(yùn)動(dòng)，所以長木板受到煤塊的摩擦力的作用．摩擦力的大小：f=μmg=0.2×0.5×10=1N
煤塊的加速度：$a=\frac{f}{m}=\frac{1}{0.5}=2m/{s}^{2}$
當(dāng)長木板受到9N的作用力時(shí)，受到向右的拉力與向左的摩擦力的作用，Ma₁=F-f
所以長木板在水平方向的加速度：${a}_{1}=\frac{F-f}{M}=\frac{9-1}{2}=4m/{s}^{2}$
2s內(nèi)木板的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×4×{2}^{2}=8$m
2s末木板的速度：v₁=a₁t₁=4×2=8m/s
水平力是3N時(shí)，Ma₂=F′-f
${a}_{2}=\frac{F′-f}{M}=\frac{3-1}{2}=1m/{s}^{2}$
此后的3s內(nèi)木板的位移：${x}_{2}={v}_{1}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}=8×3+\frac{1}{2}×1×{3}^{2}=28.5$m
木板的速度：v₂=v₁+a₂t₂=8+1×3=11m/s
此時(shí)煤塊的速度：v=a（t₁+t₂）=2×（2+3）=10m/s＜11m/s
所以此后煤塊將繼續(xù)加速，直到與長木板的速度相等．
當(dāng)撤去拉力后，長木板在水平方向只受到向左的摩擦力的作用，長木板的加速度：${a}_{3}=-\frac{f}{M}=\frac{-1}{2}=-0.5m/{s}^{2}$
設(shè)再經(jīng)過時(shí)間t₃二者的速度相等，則：v₂-a₃t₃=v+at₃
代入數(shù)據(jù)解得：t₃=0.4s
在t₃時(shí)間內(nèi)長木板的位移：${x}_{3}={v}_{2}{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{3}^{2}=11×0.4+\frac{1}{2}×（-0.5）×0．{4}^{2}=4.36$m
整個(gè)的過程中木塊一直向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，位移：$x=\frac{1}{2}a（{t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}）^{2}=\frac{1}{2}×2×（2+3+0.4）^{2}$=29.16m
當(dāng)煤塊與長木板的速度相等后，二者在水平方向不受力的作用，二者一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)，不再有相對(duì)運(yùn)動(dòng)．所以最終煤塊在長木板上留下黑色痕跡的長度：
△x=x₁+x₂+x₃-x=8+28.5+4.36-29.16=11.7m
答：最終煤塊在長木板上留下黑色痕跡的長度是11.7m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確滑塊和長木板的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解出臨界加速度，再結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析．