Question

4．若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球視為雙星系統(tǒng)，它們都圍繞月地連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，據(jù)此觀點(diǎn)，月球運(yùn)行周期記為T(mén)₁．但在近似處理問(wèn)題時(shí)，常常認(rèn)為月球繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行周期記為T(mén)₂．已知月球與地球質(zhì)量之比約為1：80，那么T₂與T₁兩者平方之比為（　�。�

• A． 81：80
• B． 80：81
• C． 9：1
• D． 1：9

Answer 1

分析 對(duì)于模型1，是雙星問(wèn)題，地球和月球繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力，有相同的角速度和周期，結(jié)合牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律列式求解周期；對(duì)于模型2，萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解周期即可．

解答 解：對(duì)于模型1，是雙星問(wèn)題，設(shè)兩個(gè)星球月球和地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r和R，兩個(gè)星球間距為L(zhǎng)，相互作用的萬(wàn)有引力大小為F，運(yùn)行周期為T(mén)₁．
根據(jù)萬(wàn)有引力定律有：
F=G$\frac{Mm}{（R+r）^{2}}$…①
由勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：
F=m（$\frac{2π}{{T}_{1}}$）²r…②
F=M（$\frac{2π}{{T}_{1}}$）²R…③
由題意有：L=R+r…④
聯(lián)立①②③④式得：
T₁=2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（M+m）}}$
對(duì)模型2，萬(wàn)有引力等于向心力，故：
$G\frac{Mm}{{L}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}L$
解得：
${T}_{2}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$
故$\frac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{M+m}{M}=\frac{80+1}{80}=\frac{81}{80}$
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是建立天體的運(yùn)動(dòng)模型；對(duì)于雙星問(wèn)題，關(guān)鍵我們要抓住它的特點(diǎn)，即兩星球的萬(wàn)有引力提供各自的向心力和兩星球具有共同的周期；當(dāng)M＞＞m時(shí)，題中兩個(gè)模型是等價(jià)的．