Question

10．如圖所示，在xOy平面內(nèi)，以O₁（0，R）為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直平面向里的勻強磁場B₁，x軸下方有一直線ab，ab與x軸相距為d，x軸與直線ab間區(qū)域有平行于y軸的勻強電場E，在ab的下方有一平行于x軸的感光板MN，ab與MN間區(qū)域有垂直于紙平面向外的勻強磁場B₂．
在0≤y≤2R的區(qū)域內(nèi)，質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從任何位置從圓形區(qū)域的左側沿x軸正方向以速度v₀射入圓形區(qū)域，經(jīng)過磁場B₁偏轉后都經(jīng)過O點，然后進入x軸下方．已知x軸與直線ab間勻強電場場強大小E=$\frac{3mυ_0^2}{2ed}$，ab與MN間磁場磁感應強度B₂=$\frac{m{v}_{0}}{ed}$．不計電子重力．
（1）求圓形區(qū)域內(nèi)磁場磁感應強度B₁的大��？
（2）若要求從所有不同位置出發(fā)的電子都不能打在感光板MN上，MN與ab板間的最小距離h₁是多大？
（3）若要求從所有不同位置出發(fā)的電子都能打在感光板MN上，MN與ab板間的最大距離h₂是多大？當MN與ab板間的距離最大時，電子從O點到MN板，運動時間最長是多少？

Answer 1

分析 （1）抓住所有電子射入圓形區(qū)域后做圓周運動軌道半徑大小相等，根據(jù)幾何關系得出粒子在磁場中的運動半徑，結合半徑公式求出圓形區(qū)域內(nèi)磁場磁感應強度B₁的大小．
（2）根據(jù)動能定理求出粒子進入磁場下方磁場的速度，根據(jù)半徑公式求出粒子的半徑，根據(jù)幾何關系求出粒子進入磁場時速度方向與水平方向的夾角，通過幾何關系求出MN與ab板間的最小距離．
（3）如果電子在O點沿x軸正方向射入電場，經(jīng)電場偏轉和磁場偏轉后，能打在感光板上，則所有電子都能打在感光板上．根據(jù)幾何關系求出MN與ab板間的最大距離．
作出粒子的運動軌跡，根據(jù)粒子在電場和磁場中的運動時間求出運動的最長時間．

解答 解：（1）所有電子射入圓形區(qū)域后做圓周運動軌道半徑大小相等，設為r，當電子從位置y=R處射入的電子經(jīng)過O點進入x軸下方，則
r=R　                              
$e{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，
解得 ${B}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{eR}$             
（2）設電子經(jīng)電場加速后到達ab時速度大小為v，電子在ab與MN間磁場做勻速圓周運動軌道半徑為r₁，沿x軸負方向射入電場的電子離開電場進入磁場時速度方向與水平方向成θ角，則
$eEd=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
${r}_{1}=\frac{mv}{e{B}_{2}}$
cosθ=$\frac{{v}_{0}}{v}$
如果電子在O點以速度v₀沿x軸負方向射入電場，經(jīng)電場偏轉和磁場偏轉后，不能打在感光板上，則所有電子都不能打在感光板上．恰好不能打在感光板上的電子在磁場中的圓軌道圓心為O₂如圖，則
感光板與ab間的最小距離
h₁=r₁+r₁cosθ，
解得v=2v₀，r₁=2d，θ=60°
h₁=3d．
（3）如果電子在O點沿x軸正方向射入電場，經(jīng)電場偏轉和磁場偏轉后，能打在感光板上，則所有電子都能打在感光板上．恰好能打在感光板上的電子在磁場中的圓軌道圓心為O₃，如圖，感光板與ab間的最大距離
h₂=r₁-r₁cosθ，
解得h₂=d             
當感光板與ab間的距離最大為h₂=d時，所有從O點到MN板的電子中，沿x軸正方向射入電場的電子，運動時間最長．設該電子在勻強電場中運動的加速度為a，運動時間為t₁，在磁場B₂中運動周期為T，時間為t₂，則
$a=\frac{eE}{m}$，d=$\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，
T=$\frac{2πm}{e{B}_{2}}$，${t}_{2}=\frac{θ}{2π}T$，
運動最長時間 t_m=t₁+t₂，
解得 $T=\frac{2πd}{{v}_{0}}$，${t}_{1}=\frac{2\sqrt{3}d}{3{v}_{0}}$，t₂=$\frac{1}{6}×\frac{2πd}{{v}_{0}}=\frac{πd}{3{v}_{0}}$．
則t_m=$\frac{2\sqrt{3}d}{3{v}_{0}}+\frac{πd}{3{v}_{0}}$．
答：（1）圓形區(qū)域內(nèi)磁場磁感應強度B₁的大小為$\frac{m{v}_{0}}{eR}$；
（2）MN與ab板間的最小距離h₁是3d；
（3）MN與ab板間的最大距離h₂是d，運動時間最長是$\frac{2\sqrt{3}d}{3{v}_{0}}+\frac{πd}{3{v}_{0}}$．．

點評 本題考查了帶電粒子在磁場、電場中的運動，關鍵作出粒子的運動軌跡，結合臨界狀態(tài)，根據(jù)半徑公式、周期公式以及幾何關系綜合求解，難度較大．