Question

20．如圖所示，半徑為R的光滑圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道的一個(gè)端點(diǎn)B和圓心O的連接與水平方向間的夾角θ=30°，另一端點(diǎn)C為軌道的最低點(diǎn)，過C點(diǎn)的軌道切線水平．在C點(diǎn)右側(cè)的水平面上緊挨C點(diǎn)放置一質(zhì)量為m的長木板，長木板上表面與C點(diǎn)等高．一質(zhì)量為m的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從空中A點(diǎn)以v₀=$\sqrt{gR}$的速度水平拋出，恰好從軌道的B端沿切線方向進(jìn)入軌道．已知物塊與長木板間的動摩擦因數(shù)μ=0.6，長木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，物塊恰好不能脫離長木板，求：
（1）物塊經(jīng)過軌道上C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力．
（2）長木板的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律，結(jié)合平行四邊形定則求出B點(diǎn)的速度，根據(jù)動能定理求出C點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而求出物塊對C點(diǎn)的壓力．
（2）根據(jù)牛頓第二定律分別求出物塊和木板的加速度，抓住物塊恰好不能脫離長木板，結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式求出長木板的長度．

解答 解：（1）根據(jù)平行四邊形定則知，B點(diǎn)的速度${v}_{B}=\frac{{v}_{0}}{sinθ}=\frac{\sqrt{gR}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{gR}$，
根據(jù)動能定理得，$mgR（1+sinθ）=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
根據(jù)牛頓第二定律得，N-mg=m$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
聯(lián)立兩式解得N=8mg，${v}_{C}=\sqrt{7gR}$．
（2）物塊的加速度${a}_{1}={μ}_{1}g=6m/{s}^{2}$，木板的加速度${a}_{2}=\frac{{μ}_{1}mg-{μ}_{2}2mg}{m}$=2m/s²，
根據(jù)v_C-a₁t=a₂t得，t=$\frac{{v}_{C}}{{a}_{1}+{a}_{2}}=\frac{\sqrt{7gR}}{8}$，
長木板的長度L=${v}_{C}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$\frac{7gR}{16}$．
答：（1）物塊經(jīng)過軌道上C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力為8mg．
（2）長木板的長度為$\frac{7gR}{16}$．

點(diǎn)評 本題考查了平拋運(yùn)動、圓周運(yùn)動和動能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式的綜合，知道平拋運(yùn)動在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動規(guī)律，以及圓周運(yùn)動向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．