Question

8．“超級(jí)地球”是指圍繞恒星公轉(zhuǎn)的類地行星．科學(xué)家發(fā)現(xiàn)有兩顆未知質(zhì)量的不同“超級(jí)地球”環(huán)繞同一顆恒星公轉(zhuǎn)，周期分別為T₁和T₂．根據(jù)上述信息可以計(jì)算兩顆“超級(jí)地球”的（　　）

• A． 角速度之比
• B． 向心加速度之比
• C． 質(zhì)量之比
• D． 所受引力之比

Answer 1

分析 根據(jù)$ω=\frac{2π}{T}$求角速度之比，根據(jù)開普勒第三定律求出軌道半徑之比，利用$a={ω}_{\;}^{2}r$求向心加速度之比，根據(jù)萬有引力提供向心力只能求中心天體質(zhì)量，根據(jù)萬有引力得出引力之間的關(guān)系．

解答 解：A、根據(jù)$ω=\frac{2π}{T}$得，$\frac{{ω}_{1}^{\;}}{{ω}_{2}^{\;}}=\frac{{T}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}$，所以可以計(jì)算角速度之比，故A正確．
B、根據(jù)開普勒第三定律$\frac{{r}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=k$得$\frac{{r}_{1}^{\;}}{{r}_{2}^{\;}}=\frac{{T}_{1}^{\frac{2}{3}}}{{T}_{2}^{\frac{2}{3}}}$，由$a={ω}_{\;}^{2}r$
得$\frac{{a}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{1}^{2}}\frac{{T}_{1}^{\frac{2}{3}}}{{T}_{2}^{\frac{2}{3}}}=\frac{{T}_{2}^{\frac{4}{3}}}{{T}_{1}^{\frac{4}{3}}}$，所以能求向心加速度之比，故B正確．
C、設(shè)“超級(jí)地球”的質(zhì)量為m，恒星質(zhì)量為M，軌道半徑為r，根據(jù)萬有引力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，“超級(jí)地球”的質(zhì)量同時(shí)出現(xiàn)在等號(hào)兩邊被約掉，故無法求“超級(jí)地球”的質(zhì)量之比，故C錯(cuò)誤．
D、根據(jù)萬有引力定律$F=G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$，因?yàn)闊o法知道兩顆“超級(jí)地球”的質(zhì)量比，所以無法求引力之比，故D錯(cuò)誤．
故選：AB

點(diǎn)評(píng) 本題考查天體運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，要注意向心力選擇合適公式，同時(shí)理解無法求得旋轉(zhuǎn)天體的質(zhì)量，但中心天體質(zhì)量可以求得