Question

3．如圖所示為某種彈射小球的游戲裝置，水平面上固定一輕質(zhì)彈簧及長(zhǎng)度可調(diào)節(jié)的豎直管AB，吸管下端接有一小段長(zhǎng)度不計(jì)的圓滑管道，上段B與四分之一圓弧彎管BC相接，每次彈射前，推動(dòng)小球?qū)�彈簧壓縮到同一位置后鎖定．解除鎖定，小球即被彈簧彈出，水平射進(jìn)細(xì)管A端，再沿管ABC從C端水平射出．已知彎管BC的半徑R=0.3m，小球的質(zhì)量為m=50g，每次彈射時(shí)彈簧對(duì)小球所做的功W=0.6J．不計(jì)小球運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能損失．取$\sqrt{8}$=2.8，重力加速度g取10m/s²．

（1）當(dāng)L=0.5m時(shí)，求小球到達(dá)管口C處時(shí)的速度大�。�
（2）當(dāng)L=0.5m時(shí)，小球落到水平面上的位置與豎直管AB間的距離；
（3）調(diào)節(jié)L時(shí)，小球到達(dá)管口C時(shí)管壁對(duì)球的作用力F_N也相應(yīng)變化，考慮到游戲裝置的實(shí)際情況，L不能小于0.15m，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的坐標(biāo)紙上作出F_N隨長(zhǎng)度L變化的關(guān)系圖線．（取管壁對(duì)球的作用力F_N方向向上為正，并要求在縱軸上標(biāo)上必要的刻度值．）

Answer 1

分析 （1）小球向上到達(dá)管口C端的過(guò)程中重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理即可求出小球到達(dá)管口C處時(shí)的速度大小；
（2）小球離開(kāi)C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)求出小球射程，由數(shù)學(xué)關(guān)系式求小球落到水平面上的位置與豎直管AB間的距離；
（3）小球通過(guò)C時(shí)臨界速度為$\sqrt{gR}$時(shí)，小球?qū)�管道壁沒(méi)有作用力，大于臨界速度時(shí)對(duì)上管壁有壓力，小球臨界速度時(shí)對(duì)下管壁有壓力，根據(jù)動(dòng)能定理求出經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出管壁對(duì)球的作用力與長(zhǎng)度L的關(guān)系．

解答 解：（1）小球向上到達(dá)管口C端的過(guò)程中重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理：$W-mg（L+R）=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-0$
可得${v}_{C}=\sqrt{\frac{2【W(wǎng)-mg（L+R）】}{m}}$
代入數(shù)據(jù)得：v_C=2.8m/s
（2）小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2（R+L）}{g}}$
所以小球離開(kāi)C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)的射程
x=${v}_{C}\sqrt{\frac{2（R+L）}{g}}$
代入數(shù)據(jù)得：x=1.12m
由于小球從C點(diǎn)開(kāi)始平拋，故小離落地點(diǎn)離AB管最遠(yuǎn)距離為：L=x+R=1.12+0.3=1.42m；
取向上為正方向則在豎直方向上的合力提供小球在C點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的向心力：
$mg-{F}_{N}=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
為了使小球到達(dá)C處，則需要滿足：
W-mg（L′+R）≥0
即：L′≤0.9m
代入向心力的表達(dá)式，可得：
${F}_{N}=mg-m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$=$\frac{10L}{3}-\frac{5}{2}$（0.15≤L≤0.9）
由此作出F_N-L圖象有：
答：（1）當(dāng)L=0.5m時(shí)，小球到達(dá)管口C處時(shí)的速度大小是2.8m/s；
（2）當(dāng)L=0.5m時(shí)，小球落到水平面上的位置與豎直管AB間的距離是1.42m；
（3）如圖．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了功能關(guān)系與平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，掌握小球能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件，注意掌握過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的繩球模型和桿球模型臨界條件的不同．