Question

9．如圖所示，厚度可不計(jì)的圓環(huán)套在粗細(xì)均勻的圓柱棒上端．圓環(huán)和圓柱棒的質(zhì)量分別為2m和m，圓環(huán)可在棒上滑動(dòng)，它們之間滑動(dòng)摩擦力和最大靜摩擦力相等，大小為2kmg（k為大于1的常數(shù)），設(shè)棒與地相碰時(shí)間極短而且棒以原速率豎直向反彈，已知棒自由下落時(shí)下端距地面距離為H，與地經(jīng)過多次碰撞后圓環(huán)才從棒的下端滑脫．求：
（1）當(dāng)棒第一次著地時(shí)，棒的速度大��；
（2）當(dāng)棒第一次豎直向上反彈起的瞬間，棒和環(huán)的加速度；
（3）從棒第一次碰地向上彈起到第二次碰地前，當(dāng)環(huán)沿棒的相對(duì)滑動(dòng)停止瞬間，棒的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）由自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即可求出當(dāng)棒第一次著地時(shí)，棒的速度大小；
（2）分別對(duì)棒與圓環(huán)進(jìn)行受力分析，結(jié)合牛頓第二定律即可求出反彈起的瞬間，棒和環(huán)的加速度；
（3）結(jié)合加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出環(huán)沿棒的相對(duì)滑動(dòng)停止瞬間，棒的速度大�。�

解答 解：（1）開始時(shí)它們一起做自由落體運(yùn)動(dòng)，第一次碰地瞬間的速度為${v}_{棒0}={v}_{環(huán)0}=\sqrt{2gH}$，方向向下 ①
（2）第一次碰地后瞬間，依題意知${v}_{棒}=\sqrt{2gH}$，方向向上  ②
${v}_{環(huán)}=\sqrt{2gH}$，方向向下  ③
之后棒的加速度：${a}_{棒}=\frac{mg+2kmg}{m}=（2k+1）g$，方向向下
環(huán)的加速度${a}_{環(huán)}=\frac{2kmg-2mg}{2m}=（k-1）g$，方向向上
（3）取向下方向?yàn)檎�方向，時(shí)間為t，環(huán)沿棒的相對(duì)滑動(dòng)停止瞬間有：$-\sqrt{2gH}+（2k+1）g=\sqrt{2gH}-（k-1）g$
解得：$t=\frac{2}{3k}•\sqrt{\frac{2H}{g}}$
故相對(duì)靜止的速度為：$v=\sqrt{2gH}-（k-1）•\frac{2}{3k}\sqrt{\frac{2H}{g}}$=$\frac{k+2}{3k}•\sqrt{2gH}$
答：（1）當(dāng)棒第一次著地時(shí)，棒的速度大小是$\sqrt{2gH}$；
（2）當(dāng)棒第一次豎直向上反彈起的瞬間，棒和環(huán)的加速度分別為：a_棒=（2k+1）g，方向向下；a_環(huán)=（k-1）g，方向向上；
（3）從棒第一次碰地向上彈起到第二次碰地前，當(dāng)環(huán)沿棒的相對(duì)滑動(dòng)停止瞬間，棒的速度大小是$\frac{k+2}{3k}•\sqrt{2gH}$．

點(diǎn)評(píng) 該題類似于是動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，但是要注意棒反彈后向上運(yùn)動(dòng)的過程中，棒與環(huán)受到的重力不能忽略不計(jì)，所以不能使用動(dòng)量守恒定律解答．