Question

如圖所示，一輕繩吊著粗細均勻的棒，棒下端離地面高H，上端套著一個細環(huán)．棒和環(huán)的質量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力kmg（k＞1）．斷開輕繩，棒和環(huán)自由下落．假設棒足夠長，與地面發(fā)生碰撞時，觸地時間極短，無動能損失．棒在整個運動過程中始終保持豎直，空氣阻力不計．求：
（1）棒第一次與地面碰撞彈起上升過程中，環(huán)的加速度；
（2）從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運動的路程S；
（3）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對環(huán)及棒做的總功W．

Answer 1

（1）設棒第一次上升過程中，環(huán)的加速度為a_環(huán)，
由牛頓第二定律得：kmg-mg=ma_環(huán)
解得：a_環(huán)=（k-1）g，方向豎直向上
（2）設棒第一次落地的速度大小為v₁
由機械能守恒得：

1

2

2m

v

21

=2mgH
解得：v1=

2gH

設棒彈起后的加速度為a_棒，由牛頓第二定律得：
a_棒=-（k+1）g
棒第一次彈起的最大高度為：H1=

v 21

2a棒

解得：H1=

H

k+1

棒運動的路程為：S=H+2H1=

k+3

k+1

H
（3）解法一：
棒第一次彈起經過t₁時間，與環(huán)達到相同速度v′₁
環(huán)的速度：v′₁=-v₁+a_環(huán)t₁
棒的速度：v′₁=v₁+a_棒t₁
環(huán)的位移：h環(huán)1=-v1t1+

1

2

a環(huán)

t

21

棒的位移：h棒1=v1t1+

1

2

a棒

t

21

環(huán)第一次相對棒的位移為：x1=h環(huán)1-h棒1=-

2H

k

棒環(huán)一起下落至地：

v

22

-

v

/21

=2gh棒1
解得：v2=

2gH k

同理，環(huán)第二次相對棒的位移為x2=h環(huán)2-h棒2=-

2H

k2

…xn=-

2H

kn

環(huán)相對棒的總位移為：x=x₁+x₂+…+x_n
摩擦力對棒及環(huán)做的總功為：W=kmgx=-

2kmgH

k-1

解法二：
設環(huán)相對棒滑動距離為l
根據(jù)能量守恒  mgH+mg（H+l）=kmgl
摩擦力對棒及環(huán)做的總功為：W=-kmgl
解得：W=-

2kmgH

k-1

．
答：（1）環(huán)的加速度為（k-1）g，方向豎直向上．
（2）從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運動的路程：S=H+2H1=

k+3

k+1

H．
（3）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對環(huán)及棒做的總功W=-

2kmgH

k-1

．