Question

9．我國執(zhí)行首次載人航天飛行的神州五號飛船于2003年10月15日在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，飛船由長征-2F運載火箭先送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道，在B點實施變軌后，再進入預定圓軌道，如圖所示．已知飛船在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，近地點A距地面高度為h₁，地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，求：
（1）地球的第一宇宙速度大小；
（2）飛船在近地點A的加速度a₁大��；
（3）遠地點B點距地面的高度h₂大�。�

Answer 1

分析 （1）可以先由重力加速度的表達式求出地球質(zhì)量，然后直接根據(jù)萬有引力充當向心力求解速度；
（2）可以先由重力加速度的表達式求出地球質(zhì)量，然后直接根據(jù)牛頓第二定律求解加速度；
（3）根據(jù)飛n圈的時間為t，先求出周期，再由在預定軌道上時萬有引力等于向心力求出預定軌道的軌道半徑，最后得出B點的高度．

解答 解：（1）在地面上$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg①
地球的第一宇宙速度時，根據(jù)萬有引力充當向心力
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$②
聯(lián)立①②知v=$\sqrt{gR}$
（2）設地球質(zhì)量為M，飛船的質(zhì)量為m，在A點受到的地球引力為F=$G\frac{Mm}{{（R+{h}_{1}）}^{2}}$=ma_A③
聯(lián)立①③得 a_A=$\frac{{R}^{2}g}{（R+{h}_{1}）^{2}}$
（3）飛船在預定圓軌道飛行的周期
T=$\frac{t}{n}$
由牛頓運動定律得$G\frac{Mm}{{（R+{h}_{2}）}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h₂）
聯(lián)立解得：h₂=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}$-R
答：（1）地球的第一宇宙速度大小為$\sqrt{gR}$；
（2）飛船在近地點A的加速度a_A大小為 $\frac{{R}^{2}g}{{（R+{h}_{1}）}^{2}}$；
（3）遠地點B距地面的高度h₂大小為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}$-R．

點評 衛(wèi)星在橢圓軌道運行時的加速度目前只能根據(jù)牛頓第二定律求解；衛(wèi)星的軌道半徑與線速度、角速度、周期對應．