Question

5．閱讀如下資料，并根據(jù)資料中有關(guān)信息回答問題：
（1）由于兩個(gè)物體相對(duì)位置的變化引起的引力場(chǎng)的能量變化（與某一零位置相比）．稱作為這一對(duì)物體的引力勢(shì)能，則萬有引力勢(shì)能可由此式算：E_P=-$\frac{GMm}{r}$（設(shè)無窮遠(yuǎn)處E_p=0）式中M、m分別代表兩個(gè)物體的質(zhì)量，r物體中心距離，G為萬有引力常量．
（2）處于某一星體表面的物體只要有足夠大的速度就能夠擺脫該星體的引力飛到無窮遠(yuǎn)，這一速度就叫做星體的逃逸速度．
（3）大約200年前法國數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家拉普拉斯曾預(yù)言一個(gè)密度跟地球相同，直徑為太陽250倍的發(fā)光星體，由于其引力作用將不允許任何光線離開它，其逃逸速度大于真空中的光速，這一奇怪的黑體就叫做黑洞．
（4）以下是太陽的有關(guān)數(shù)據(jù)．在下列問題中，把星體（包括黑洞）看做是一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體．

太陽的半徑	R日=7×105km=110R地球
太陽的質(zhì)量	M日=2×1030kg=3.33×105M地球
平均密度	ρ日=1.4×103kg/m3=$\frac{1}{4}$ρ地球
自傳周期	赤道附近26天，兩極附近長于30天

①如果地球的質(zhì)量為M地，半徑為R地，試計(jì)算地球的逃逸速度；若物體繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為7.9km/s，則物體擺脫地球引力的逃逸速度為多大？
②試估算太陽表面的重力加速度與地球表面的重力加速度的比值．
③已知某星體演變?yōu)楹诙磿r(shí)質(zhì)量為M，求該星體演變?yōu)楹诙磿r(shí)的臨界半徑r_g
④若太陽最終可以演變?yōu)楹诙�，則它演變?yōu)楹诙磿r(shí)的臨界半徑r_g為多少米？

Answer 1

分析 由能量守恒，要逃逸地球其總機(jī)械能與無窮遠(yuǎn)處相同為0，則由 $\frac{1}{2}m{v}^{2}-G\frac{Mm}{r}=0$  求得逃逸速度的表達(dá)式，再由其表達(dá)式確定臨界半徑的值，
代入太陽質(zhì)量即可求得太陽成為黑洞時(shí)的臨界半徑r_g的值．

解答 解：（1）地球的逃逸速度要滿足：$\frac{1}{2}m{v}^{2}-G\frac{Mm}{r}=0$  則v=$\sqrt{\frac{2GM}{r}}$=$\sqrt{2}$×7.9=11.2Km/s
     （2）由g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$  得$\frac{{g}_{日}}{{g}_{地}}$=$\frac{{M}_{日}}{{M}_{地}}\frac{{R}_{地}^{2}}{{R}_{日}^{2}}$=$\frac{333}{12}$
     （3）光速為C：由逃逸速度為v=$\sqrt{\frac{2GM}{r}}$  則C=$\sqrt{\frac{2GM}{r}}$    求得：r_g=$\frac{2GM}{{C}^{2}}$
     （4）將太陽質(zhì)量代入：r_g=$\frac{2G{M}_{日}}{{C}^{2}}$=$\frac{2×6.67×1{0}^{-11}×2×1{0}^{30}}{（3×1{0}^{8}）^{2}}$=2.96×10³m
答：①物體擺脫地球引力的逃逸速度為11.2Km/s．
②太陽表面的重力加速度與地球表面的重力加速度的比值為$\frac{333}{12}$
③該星體演變?yōu)楹诙磿r(shí)的臨界半徑r_g為$\frac{2GM}{{C}^{2}}$
④若太陽最終可以演變?yōu)楹诙�，則它演變?yōu)楹诙磿r(shí)的臨界半徑r_g為2.96×10³m．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)逃逸速度的理解，明確由能量守恒，要逃逸地球其總機(jī)械能與無窮遠(yuǎn)處相同為0，則由 $\frac{1}{2}m{v}^{2}-G\frac{Mm}{r}=0$  求得逃逸速度的表達(dá)式即可．