Question

10．如圖，A是地球的同步衛(wèi)星．另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h．已知地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω₀，地球質(zhì)量為M，O為地球中心．
（1）開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律指出：行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即 k是一個(gè)對(duì)所有行星都相同的常量．開(kāi)普勒定律不僅適用于太陽(yáng)系，它對(duì)一切具有中心天體的引力系統(tǒng)（如地月系統(tǒng)）都成立．請(qǐng)你推導(dǎo)出地月系中該常量k的表達(dá)式．已知引力常量為G．
（2）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時(shí)刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（O、B、A在同一直線上），則至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，它們還能相距最近？

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，于是軌道半長(zhǎng)軸a即為軌道半徑r，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律列式求解即可；
（2）衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)衛(wèi)星B轉(zhuǎn)過(guò)的角度與衛(wèi)星A轉(zhuǎn)過(guò)的角度之差等于2π時(shí)，衛(wèi)星再一次相距最近

解答 解：（1）因衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，于是軌道半長(zhǎng)軸a即為軌道半徑r，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：k=$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{G}{4{π}^{2}}$M
（2）由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得 G$\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}$=mω_B²（ R+h ）   
在地球表面有$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，
得ω_B=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$
由題意得（ω_B-ω₀）t=2π  
解得：t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{（R+h）}^{3}}}-{ω}_{0}}$
答：（1）地月系中該常量k的表達(dá)式為k=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M；
（2）至少經(jīng)過(guò)時(shí)間$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{（R+h）}^{3}}}-{ω}_{0}}$，它們還能相距最近．

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用，難度適中．