Question

19．如圖所示，與紙平面平行的兩相同光滑金屬圓形導(dǎo)軌，半徑為r，導(dǎo)軌間距為d，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，兩環(huán)圓心連線水平且垂直于紙平面，圓環(huán)最低點(diǎn)a、b間用導(dǎo)線連接一阻值為R的電阻．一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向水平向右且與導(dǎo)軌圓心的連線垂直、區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場．圓環(huán)導(dǎo)軌內(nèi)側(cè)有一處于導(dǎo)軌最低點(diǎn)與導(dǎo)軌接觸良好的均勻金屬棒，金屬棒電阻不計(jì)，質(zhì)量為m，長度略大于d．在外力作用下使金屬棒由初始位置以速率v沿軌道逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動（重力加速度g）．求：
（1）金屬棒在與圓心等高的位置時(shí)電阻R中電流的大��；
（2）金屬棒由最低位置第一次運(yùn)動至最高位置過程中，流過電阻R的電量；
（3）金屬棒從最低位置第一次運(yùn)動至最高位置過程中，已知電阻中電流隨時(shí)間變化的關(guān)系為i=$\frac{Bdv}{R}$sin$\frac{v}{r}$t，則該過程中外力做了多少功？

Answer 1

分析 （1）金屬棒在與圓心等高的位置時(shí)金屬棒的速度的方向與磁場垂直，由E=BLv即可求出感應(yīng)電動勢，然后由閉合電路的歐姆定律即可求出電阻R中電流的大��；
（2）金屬棒由最低位置第一次運(yùn)動至最高位置過程中，由平均電動勢：$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$求出平均電動勢，由I=$\frac{q}{t}$即可求出流過電阻R的電量；
（3）金屬棒從最低位置第一次運(yùn)動至最高位置過程中感應(yīng)電流隨時(shí)間做正弦式的變化，結(jié)合交流電的有效值的表達(dá)式即可求出外力做的功．，

解答 解：（1）金屬棒在與圓心等高的位置時(shí)金屬棒的速度的方向與磁場垂直，由電動勢的表達(dá)式得：E=Bdv
由閉合電路的歐姆定律得：$I=\frac{E}{R}=\frac{Bdv}{R}$ 看求出電阻R中電流的大��；
（2）金屬棒由最低位置第一次運(yùn)動至最高位置過程中，電路中的平均電動勢：$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B•d•2r}{△t}$，
電路中的平均電流：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$，
由$\overline{I}$=$\frac{q}{t}$得：
流過電阻R的電量：q=$\overline{I}•△t$=$\frac{2Bdr}{R}$
（3）金屬棒從最低位置第一次運(yùn)動至最高位置過程中感應(yīng)電流隨時(shí)間做正弦式的變化，由電阻中電流隨時(shí)間變化的關(guān)系為i=$\frac{Bdv}{R}$sin$\frac{v}{r}$t可知，電路中的最大電流為$\frac{Bdv}{R}$
所以電流的有效值：${I}_{有效}=\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}Bdv}{2R}$
金屬棒到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間：$t=\frac{πr}{v}$
所以在電阻R上消耗的電能：Q=${I}_{有效}^{2}•R•t$=$\frac{π{B}^{2}tt3vhbf^{2}vr}{2R}$
由功能關(guān)系可知，外力做的功轉(zhuǎn)化為金屬棒的重力勢能與R上消耗的電能，所以：W=mg•2r+Q=$2mgr+\frac{π{B}^{2}1hl1jlp^{2}vr}{2R}$
答：（1）金屬棒在與圓心等高的位置時(shí)電阻R中電流的大小是$\frac{Bdv}{R}$；
（2）金屬棒由最低位置第一次運(yùn)動至最高位置過程中，流過電阻R的電量是$\frac{2Bdr}{R}$；
（3）金屬棒從最低位置第一次運(yùn)動至最高位置過程中，該過程中外力做功$2mgr+\frac{π{B}^{2}xv33tx3^{2}vr}{2R}$．

點(diǎn)評 本題是電磁感應(yīng)和電路知識的綜合，解答的關(guān)鍵是運(yùn)用導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的電動勢計(jì)算通過電阻R的電量時(shí)，要使用平均電動勢．