Question

9．如圖甲所示，表面絕緣、傾角θ=30°的斜面固定在水平地面上，斜面的頂端固定有彈性擋板，擋板垂直于斜面，并與斜面底邊平行．斜面所在空間有一寬度D=0.40m的勻強磁場區(qū)域，其邊界與斜面底邊平行，磁場方向垂直斜面向上，磁場上邊界到擋板的跑離s=0.55m．一個質(zhì)量m=0.10kg、總電阻R=0.25Ω的單匝矩形閉合金屬框abcd，放在斜面的底端，其屮ab邊與斜面底邊重合，ab邊長L=0.50m，bc寬度與磁場寬度相等．從t=0時刻開始．線框在垂直cd邊沿斜面向上大小恒定的拉力F作用下，從靜止開始運動，當(dāng)線框的ab邊離開磁場區(qū)域時撤去拉力F，線框繼續(xù)向上運動，并與擋板發(fā)生碰撞，碰撞過程的時間可忽略不計，且碰撞前后速度大小相等，方向相反．線框向上運動過程中速度與時間的v-t關(guān)系圖象如圖乙所示．已知線框在整個運動過程中始終未脫離斜面，且保持ab邊與斜面底邊平行，線框與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．重力加速度g取10m/s²_o
（1）求線框受到的拉力F大��；
（2）求勻強磁場的磁感應(yīng)強度B的大小；
（3）已知線框沿斜而向下運動通過磁場區(qū)域過程中的速度v隨位移x的變化關(guān)系滿足v=v₀-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}$x（式中v₀為線框向下運動ab邊剛進人磁場時的速度大小，x為線框進人磁場后ab邊相對磁場上邊界的位移大�。�，求線框向下運動進人磁場區(qū)域過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)v-t圖象的斜率求出加速度，由牛頓第二定律求解拉力F的大小；
（2）由v-t圖象可知，線框進入磁場區(qū)域后以速度2m/s做勻速直線運動，推導(dǎo)出安培力表達式，由平衡條件求解磁感應(yīng)強度B的大�。�
（3）由v-t圖象可知，線框進入磁場區(qū)域后做勻速直線運動，并以速度v₁勻速穿出磁場，說明線框的寬度等于磁場的寬度 D=0.40m 線框ab邊離開磁場后做勻減速直線運動，到達檔板時的位移為s-D=0.15m，根據(jù)動能定理求出線框與擋板碰撞前的速度，線框碰檔板后速度大小不變．分析線框向下運動的過程：線框下滑過程中，由于重力沿斜面方向的分力與滑動摩擦力大小相等，線框與擋板碰撞后向下做勻速運動，abab邊剛進入磁場時的速度為v₂=1.0 m/s；進入磁場后因為又受到安培力作用而減速，做加速度逐漸變小的減速運動，由v=v₀-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}$x求出線框全部離開磁場區(qū)域時的速度．根據(jù)焦耳定律求出線框向上運動通過磁場區(qū)域產(chǎn)生的焦耳熱，根據(jù)能量守恒定律求出線框向下運動進入磁場的過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q．

解答 解：（1）由v-t圖象可知，在0～0.4s時間內(nèi)線框做勻加速直線運動，進入磁場時的速度為v₁=2.0m/s，所以在此過程中的加速度 a=$\frac{△v}{△t}$=5.0m/s²
由牛頓第二定律得  F-mgsinθ-μmgcosθ=ma
解得 F=1.5N
（2）由v-t圖象可知，線框進入磁場區(qū)域后以速度v₁做勻速直線運動，
產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢 E=BLv₁
通過線框的電流 I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL{v}_{1}}{R}$
線框所受安培力 F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$
對于線框勻速運動的過程，由力的平衡條件，有
  F=mgsinθ+μmgcosθ+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$，解得B=0.5T
（3）由v-t圖象可知，線框進入磁場區(qū)域后做勻速直線運動，并以速度v₁勻速穿出磁場，說明線框的寬度等于磁場的寬度 D=0.40m 線框ab邊離開磁場后做勻減速直線運動，到達檔板時的位移為s-D=0.15m，設(shè)線框與擋板碰撞前的速度為v₂
由動能定理，有-mg（s-D）sinθ-μmg（s-D）cosθ=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 v₂=1.0m/s
線框碰檔板后速度大小仍為v₂，線框下滑過程中，由于重力沿斜面方向的分力與滑動摩擦力大小相等，即mgsinθ=μmgcosθ=0.50N，因此線框與擋板碰撞后向下做勻速運動，ab邊剛進入磁場時的速度為v₂=1.0 m/s；進入磁場后因為又受到安培力作用而減速，做加速度逐漸變小的減速運動，設(shè)線框全部離開磁場區(qū)域時的速度為v₃
由v=v₀-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}$x得  v₃=v₂-$\frac{2{B}^{2}{L}^{2}D}{mR}$=-1.0 m/s，
因v₃＜0，說明線框在離開磁場前速度已經(jīng)減為零，這時安培力消失，線框受力平衡，所以線框?qū)㈧o止在磁場中某位置．
線框向下運動進入磁場的過程中產(chǎn)生的焦耳熱 Q=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=0.05J
答：
（1）線框受到的拉力F的大小是1.5N；
（2）勻強磁場的磁感應(yīng)強度B的大小是0.50T；
（3）線框向下運動進人磁場區(qū)域過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q是0.05J．

點評 本題關(guān)鍵要根據(jù)速度圖象，分析線框的運動過程，運用平衡條件、牛頓第二定律、動能定理等力學(xué)規(guī)律與電磁感應(yīng)規(guī)律結(jié)合解答．