Question

7．如圖所示，AB為光滑的水平軌道，BC為光滑的半徑為R可以任意調(diào)節(jié)的豎直半圓軌道，二者在同一豎直水平面內(nèi)相切于B點，一個質(zhì)量為m的小球以初速度v₀從水平軌道進入圓軌道，重力加速度為g，求：
（1）小球經(jīng)過B點時對軌道的壓力；
（2）欲使小球能夠通過C點，求R的取值范圍；
（3）小球通過C點后做平拋運動，R為多少時小球在水平軌道的落點與B相距最遠，最遠距離為多少？

Answer 1

分析 （1）小球經(jīng)過B點時，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道對小球小球的支持力，再由牛頓第三定律得到小球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）研究小球從B運動到C的過程，根據(jù)動能定理求出C點速度表達式，在C點，臨界情況是軌道對小球沒有作用力，由重力提供向心力，由牛頓第二定律列式得到C點的速度表達式，再聯(lián)立即可求解．
（3）小球通過C點后做平拋運動，根據(jù)平拋運動的規(guī)律得到水平距離與R的關(guān)系式，運用數(shù)學(xué)知識求解．

解答 解：（1）設(shè)小球經(jīng)過B點時軌道對小球的支持力為F_N，則
  F_N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
即得 F_N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由牛頓第三定律可知，小球經(jīng)過B點時對軌道的壓力為  F_N′=F_N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
（2）設(shè)小球經(jīng)過最高點C的速度為v_C．小球從B到C的過程中，由動能定理得
-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
而小球恰好能通過最高點C時的速度為v，則有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
小球能過C點必須滿足 v_C≥v
聯(lián)立解得 R≤$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$
（3）由（2）可知，小球過最高點時速度為 v_C=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-4gR}$
小球通過C點后做平拋運動，設(shè)水平位移為s，運動時間為t，則
  s=v_Ct
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得 s=$\sqrt{\frac{4{v}_{0}^{2}}{g}R-16{R}^{2}}$
根式下為二次函數(shù)，因為$\frac{{v}_{0}^{2}}{8g}$＜$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$，所以當(dāng)且僅當(dāng) R=$\frac{{v}_{0}^{2}}{8g}$時 s有最大值，且最大值為 s_max=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
答：（1）小球經(jīng)過B點時對軌道的壓力是mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$；
（2）欲使小球能夠通過C點，R的取值范圍是R≤$\frac{{v}_{0}^{2}}{5g}$；
（3）小球通過C點后做平拋運動，R為$\frac{{v}_{0}^{2}}{8g}$時小球在水平軌道的落點與B相距最遠，最遠距離為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$．

點評 本題關(guān)鍵是明確小球的運動情況，然后分過程運用牛頓運動定律、動能定理或機械能守恒定律、平拋運動的分位移公式列式求解．