Question

2．如圖所示的矩形區(qū)域ACDG（AC邊足夠長）中存在垂直于紙面的勻強磁場，GA邊長為定值L．有一寬度為d的狹縫，A處為右邊緣．離子源產(chǎn)生的離子束，經(jīng)靜電場加速穿過狹縫后，垂直于GA邊和磁場方向射入，實現(xiàn)將比荷不同的離子分開，并被GA邊上相應(yīng)的收集器收集．
已知被加速的兩束正離子的質(zhì)量分別是m₁和m₂（m₁＞m₂），電荷量均為q．加速電場的電勢差為U，離子進入電場時的初速度可以忽略．不計重力，也不考慮離子間的相互作用．
（1）質(zhì)量為m₁的離子進入磁場時的運動半徑；
（2）為保證上述兩種離子束能落在GA邊上并被完全分離，求狹隘的最大寬度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出粒子進入磁場時的速度，結(jié)合半徑公式求出粒子進入磁場時運動的半徑．
（2）由題意畫出草圖，通過圖找出兩個軌跡因?qū)挾葹閐狹縫的影響，從而應(yīng)用幾何知識找出各量的關(guān)系，列式求解．

解答 解：（1）由動能定理得，$qU=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$，解得${v}_{1}=\sqrt{\frac{2qU}{{m}_{1}}}$，
由$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，R=$\frac{mv}{qB}$，
得質(zhì)量為m₁的離子在磁場中的軌道半徑為${R}_{1}=\sqrt{\frac{2{m}_{1}U}{q{B}^{2}}}$．
（2）質(zhì)量為m₁的離子，在GA邊上的落點都在其入射點左側(cè)2R₁處，由于狹縫的寬度為d，因此落點區(qū)域的寬度也是d，同理，質(zhì)量為m₂的離子在GA邊上落點區(qū)域的寬度也是d，
條件為：2（R₁-R₂）＞d，${R}_{2}=\sqrt{\frac{2{m}_{2}U}{q{B}^{2}}}$．
聯(lián)立解得$2{R}_{1}（1-\sqrt{\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}}）$＞d，
R₁的最大值滿足：
2R_1m=L-d
得：$（L-d）（1-\sqrt{\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}}）＞d$，
求得最大值：d_m=$\frac{\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}{2\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}L$．
答：（1）質(zhì)量為m₁的離子進入磁場時的運動半徑為$\sqrt{\frac{2{m}_{1}U}{q{B}^{2}}}$；
（2）狹隘的最大寬度為$\frac{\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}{2\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}L$．

點評 此題考查帶電粒子在有界電場中運動的問題，類似質(zhì)譜儀，解題方式和磁場中運動相似，確定圓心，軌跡和半徑，整體上難度不大．