Question

3．一行星與地球運動情況相似，此行星運動一晝夜的時間為a秒．用同一彈簧測力計測某物體重力，在赤道處的讀數(shù)是兩極處的b倍（b小于1），萬有引力常量為G，則此行星的平均密度為（　�。�

• A． $\frac{30π}{{G{a^2}b}}$
• B． $\frac{3π}{{G{a^2}{b^2}}}$
• C． $\frac{30π}{{G{a^2}{{（1-b）}^2}}}$
• D． $\frac{3π}{{G{a^2}{{（1-b）}^{\;}}}}$

Answer 1

分析 在兩極處重力與萬有引力相等，赤道處的萬有引力一部分表現(xiàn)為重力一部分提供隨星球自轉(zhuǎn)的加速度，據(jù)此分析求解出星球表面的重力加速度，并由此求得星球的質(zhì)量和密度．

解答 解：令行星的半徑為R，行星的質(zhì)量為M，則由題意有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}（1-b）=mR\frac{4{π}^{2}}{{a}^{2}}$
由此可得，行星的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G（1-b）{a}^{2}}$
據(jù)密度公式有，此行星的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G（1-b）{a}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π}{G（1-b）{a}^{2}}$
故選：D．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道在行星的赤道和兩極，重力與萬有引力大小的關(guān)系，知道兩極處重力與萬有引力相等，赤道處萬有引力一部分提供向心力，一部分表現(xiàn)為重力．