Question

6．如圖所示為宇宙中一恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星．它繞中央恒星O的運行軌道近似為圓．已知引力常量為G，天文學家觀測得到A行星的運行軌道半徑為R₀，周期為T₀，求：
（1）中央恒星O的質量是多大？
（2）在A行星外側還有一顆B行星，其軌道半徑為2R₀則B行星的運行速度為多大？

Answer 1

分析 （1）A繞恒星做圓周運動，萬有引力提供向心力，應用向心力公式與牛頓第二定律可以求出恒星的質量．
（2）萬有引力提供行星做圓周運動的向心力，應用萬有引力公式與牛頓第二定律可以求出行星的線速度．

解答 解：（1）設中央恒星O的質量為M，A行星的質量為m，行星做圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}$=m$（\frac{2π}{{T}_{0}}）^{2}$R₀，
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{R}_{0}^{3}}{G{T}_{0}^{2}}$；
（2）萬有引力提供行星做圓周運動的向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{M{m}_{B}}{（2{R}_{0}）^{2}}$=m_B$\frac{{v}_{B}^{2}}{2{R}_{0}}$，
解得：v_B=$\frac{\sqrt{2}π{R}_{0}}{{T}_{0}}$；
答：（1）中央恒星O的質量是$\frac{4{π}^{2}{R}_{0}^{3}}{G{T}_{0}^{2}}$；
（2）在A行星外側還有一顆B行星，其軌道半徑為2R₀則B行星的運行速度為$\frac{\sqrt{2}π{R}_{0}}{{T}_{0}}$．

點評 本題考查了萬有引力定律的應用，知道萬有引力提供行星做圓周運動的向心力是正確解題的關鍵，應用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題．