Question

11．如圖所示，一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角θ=45°，一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩（質(zhì)量不計(jì)），一端固定在圓錐體的頂點(diǎn)O處，另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m的小物體（物體可看作質(zhì)點(diǎn)），物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)時(shí)v=$\sqrt{\frac{gL}{6}}$，求繩對(duì)物體的拉力．
（2）當(dāng)時(shí)v=$\sqrt{\frac{3gL}{2}}$，求繩對(duì)物體的拉力．

Answer 1

分析 先求出物體剛要離開錐面時(shí)的臨界速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界速度．當(dāng)速度大于臨界速度，則物體離開錐面，當(dāng)速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答 解：當(dāng)物體剛要離開錐面時(shí)，錐面對(duì)小球沒有支持力，由牛頓第二定律得：Tcosθ-mg=0，Tsinθ=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{Lsinθ}$
解得 v=$\sqrt{\frac{\sqrt{2}gL}{2}}$．
（1）因v₁＜v，此時(shí)錐面對(duì)球有支持力，設(shè)為N₁，如圖1所示，則
 T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
 T₁sinθ-N₁sinθ=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{Lsinθ}$
解得 T₁=$\frac{3\sqrt{2}+1}{6}$mg
（2）因v₂＞v，則球離開錐面，設(shè)線與豎直方向上的夾角為α，如圖2所示．
則T₂cosα-mg=0
 T₂sinα=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{Lsinα}$
解得T₂=2mg．
答：
（1）當(dāng)時(shí)v=$\sqrt{\frac{gL}{6}}$，繩對(duì)物體的拉力為$\frac{3\sqrt{2}+1}{6}$mg．
（2）當(dāng)時(shí)v=$\sqrt{\frac{3gL}{2}}$，繩對(duì)物體的拉力為2mg．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況，正確分析物體的受力情況，再運(yùn)用牛頓第二定律求解．要注意小球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不是L，而是Lsinθ．