Question

16．如圖甲所示，在同一豎直平面內的兩正對著的相同半圓光滑軌道，相隔一定的距離，虛線沿豎直方向，一小球能在其間運動，今在最高點A與最低點B各放一個壓力傳感器，測試小球對軌道的壓力，并通過計算機顯示出來，當軌道距離變化時，測得兩點壓力差與距離x的圖象如圖乙所示，g取10m/s²，不計空氣阻力．求：
（1）小球的質量為多少？
（2）若小球在最低點B的速度為20m/s，為使小球能沿軌道運動，x的最大值為多少？
（3）若小球在最低點B的速度為20m/s，兩軌道間高度差x變?yōu)榈诙�問中最大值的一半，在小球運動到A點時，小球對軌道的壓力是多大？

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒及分別對A點和B點由向心力公式可求得壓力差與距離x的關系式，則可由圖象的截距求得物體的質量；
（2）由圖象的斜率可求得光滑圓軌道的半徑，由機械能守恒定律及豎直面內的圓周運動臨界值可求得x的最大值；
（3）從B到A，由機械能守恒定律求出小球到達A點的速度，在A點，由牛頓第二定律、第三定律結合求得小球對軌道的壓力．

解答 解：（1）設軌道半徑為R，由機械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}$mv_B²=mg（2R+x）+$\frac{1}{2}$mv_A² ①
根據(jù)牛頓第二定律得
對B點：F_N1-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$ ②
對A點：F_N2+mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$ ③
由①②③式得兩點壓力差△F_N=F_N1-F_N2=6mg+$\frac{2mgx}{R}$ ④
由圖象得截距 6mg=3，解得 m=0.05 kg ⑤
（2）因為圖線的斜率 k=$\frac{2mg}{R}$=1，解得R=1m ⑥
在A點不脫離的條件為：v_A≥$\sqrt{Rg}$⑦由①⑤⑥⑦式得：x≤17.5 m．
所以為使小球能沿軌道運動，x最大值為17.5m．
（3）從B到A，由機械能守恒定律可得：
  $\frac{1}{2}$mv_B²=mg（2R+$\frac{1}{2}$x）+$\frac{1}{2}$mv_A²
在A點，有牛頓第二定律可得：
  F_N+mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
由牛頓第三定律可得：
  F_N′=F_N=8.75N
答：
（1）小球的質量為0.05 kg．
（2）若小球在最低點B的速度為20m/s，為使小球能沿軌道運動，x最大值為17.5m．
（3）在小球運動到A點時，小球對軌道的壓力是8.75N．

點評 本題采用函數(shù)法研究圖象的物理意義，關鍵要能根據(jù)機械能守恒定律和向心力公式得到壓力差的解析式．此類題型為常見題型，應熟練掌握．