Question

1．釣魚島是我國固有領(lǐng)土，決不允許別國侵占，近期，為提高警惕保衛(wèi)祖國，我國海軍為此進(jìn)行了登陸演練．如圖所示，假設(shè)一艘戰(zhàn)艦因噸位大吃水太深，只能停錨在離海岸登陸點(diǎn)s=1km處．登陸隊(duì)員需要從較高的軍艦甲板上，利用繩索下滑到登陸快艇上再行登陸接近目標(biāo)，若繩索兩端固定好后，與豎直方向的夾角θ=30°，為保證行動最快，隊(duì)員甲先無摩擦自由加速滑到某最大速度，再靠摩擦勻減速滑至快艇，速度剛好為零，在隊(duì)員甲開始下滑時，隊(duì)員乙在甲板上同時開始向快艇以速度v₀=3$\sqrt{3}$m/s平拋救生圈，第一個剛落到快艇，接著拋第二個，結(jié)果第二個救生圈剛好與甲隊(duì)員同時抵達(dá)快艇，若人的質(zhì)量為m，重力加速度g=10m/s²，問：
（1）軍艦甲板到快艇的豎直高度H及隊(duì)員甲在繩索上運(yùn)動的時間t₀；
（2）若加速過程與減速過程加速度大小相等，則隊(duì)員甲在何處速度最大？最大速度是多大？
（3）若快艇額定功率為5kW，載人后連同裝備總質(zhì)量為10³ kg，從靜止開始以最大功率向登陸點(diǎn)加速靠近，到達(dá)岸邊時剛好能達(dá)到最大速度10m/s，快艇在水中受到的阻力恒定，求快艇運(yùn)動的時間t′．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律與幾何知識，可得高度與時間；
（2）由幾何關(guān)系可得繩索長度，根據(jù)運(yùn)動的對稱性分析得出速度最大處，由位移與平均速度關(guān)系即可求解；
（3）由動能定理與達(dá)到最大速度時功率與阻力的關(guān)系，可聯(lián)合求得結(jié)果．

解答 解：
（1）設(shè)救生圈做平拋運(yùn)動的時間為t，有：
H=$\frac{1}{2}$gt²…①
Htan θ=v₀t…②
設(shè)人下滑時間為t₀，由題意知：t₀=2t…③
聯(lián)立①②③得：
H=16.2 m，
t₀=3.6 s．                      
（2）由幾何關(guān)系得：繩索長L=$\frac{H}{cos30°}$=18.7 m．
因加速過程與減速過程的加速度大小相等，所以，甲在繩索中點(diǎn)處速度最大，
由：$\frac{1}{2}$a_mt′²×2=L，${a}_{m}=gcos30°=5\sqrt{3}$m/s²
得：
v_m=a_mt′=9$\sqrt{2}$ m/s                                   
（3）加速過程有：
Pt′-f（s-Htanθ）=$\frac{1}{2}$Mv_m′²…④
加速到勻速時：
v_m′=$\frac{P}{f}$…⑤
聯(lián)立④⑤解得：
t′=1.1×10² s                           
答：（1）軍艦甲板到快艇的豎直高度H=16.2m，隊(duì)員甲在繩索上運(yùn)動的時間t₀=3.6s．
（2）若加速過程與減速過程中的加速度大小相等，則隊(duì)員甲在繩索中點(diǎn)處速度最大，最大速度是9$\sqrt{2}$ m/s．
（3）若快艇額定功率為5kW，載人后連同裝備總質(zhì)量為10³ kg，從靜止開始以最大功率向登陸點(diǎn)加速靠近，到達(dá)岸邊時剛好能達(dá)到最大速度10m/s，快艇在水中受到的阻力恒定，快艇運(yùn)動的時間t′=1.1×10² s．

點(diǎn)評 考查如何處理平拋運(yùn)動的常規(guī)方法，及運(yùn)動學(xué)公式，并涉及到動能定理的理解．注意甲在何處速度達(dá)到最大是本題的關(guān)鍵之處．