Question

15．如圖所示，一根輕桿長為L=$\sqrt{2}$R，兩端固定A、B兩球，m_A：m_B=$\sqrt{3}$：1，放置在半徑為R的光滑半球形碗中，在圖示位置平衡，A球與球心連線和豎直方向的夾角為θ，碗固定在長木板上，長木板可繞O點轉動，現對長木板的另一端施加外力F，使其逆時針緩慢轉動，在A、B兩球均未脫離碗的過程中，A球與球心連線和豎直方向的夾角θ的變化情況是（　�。�

• A． 逐漸變小
• B． 逐漸變大
• C． 先變大后變小
• D． 保持不變

Answer 1

分析 先對球A受力分析，受重力、拉力和支持力；再對球B受力分析，受重力、拉力和支持力；然后根據共點力平衡條件列式，求出角度θ．

解答 解：細桿的長度為$\sqrt{2}R$，故球與圓心的連線與細桿的夾角為45°；
取桿方向為x軸，與桿垂直為y軸，對A受力分析，受重力G_A、拉力F和支持力F_N1，如圖

根據共點力平衡條件，有
x方向：F+m_Agsin（45°-θ）=F_N1cos45°
y方向：m_Agcos（45°-θ）=F_N1sin45°
整理得：F+m_Agins（45°-θ）=m_Agcos（45°-θ）
對B，同理得：F=m_Bgsin（45°-θ）+m_Bgcos（45°-θ）
解得：tan（45°-θ）=$\frac{{m}_{A}g-{m}_{B}g}{{m}_{A}g+{m}_{B}g}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$=$2-\sqrt{3}$
故θ=45°-arctan（$2-\sqrt{3}$）
可知該夾角與小球的質量關系有關，而與碗的位置無關，在A、B兩球均未脫離碗的過程中，A球與球心連線和豎直方向的夾角θ保持不變．
故選：D

點評 本題關鍵是對兩個小球受力分析，然后根據共點力平衡條件列方程求解．