Question

2．“嫦娥四號(hào)”，專家稱“四號(hào)星”，計(jì)劃在2017年發(fā)射升空，它是嫦娥探月工程計(jì)劃中嫦娥系列的第四顆人造探月衛(wèi)星，主要任務(wù)是更深層次、更加全面的科學(xué)探測(cè)月球地貌、資源等方面的信息，完善月球檔案資料．已知月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，月球的平均密度為ρ，“嫦娥四號(hào)”離月球中心的距離為r，繞月周期為T．根據(jù)以上信息下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 月球的第一宇宙速度為$\sqrt{gr}$
• B． 萬(wàn)有引力常量可表示為$\frac{3π{r}^{3}}{ρ{T}^{2}{R}^{3}}$
• C． “嫦娥四號(hào)”繞月運(yùn)行的速度為$\sqrt{\frac{g{r}^{2}}{R}}$
• D． “嫦娥四號(hào)”必須減速運(yùn)動(dòng)才能返回地球

Answer 1

分析 1、根據(jù)重力提供向心力mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得月球的第一宇宙速度為v=$\sqrt{gR}$；
2、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力和月球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，二式化簡(jiǎn)可得嫦娥四號(hào)的速度；
3、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得月球的質(zhì)量M，解得月球的密度ρ=$\frac{M}{V}$，變形可得萬(wàn)有引力常量．

解答 解：A、月球的第一宇宙速度為近月衛(wèi)星的運(yùn)行速度，所以重力提供向心力mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得月球的第一宇宙速度為v=$\sqrt{gR}$．故A錯(cuò)誤．
B、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，得月球的質(zhì)量$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，所以月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，所以萬(wàn)有引力常量為$G=\frac{3π{r}^{3}}{ρ{T}^{2}{R}^{3}}$，故B正確．
C、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，又因?yàn)樵虑虮砻娴奈矬w受到的重力等于萬(wàn)有引力$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$，得GM=R²g．
所以$v=\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$，故C錯(cuò)誤．
D、嫦娥四號(hào)要脫離月球的束縛才能返回月球，嫦娥四號(hào)要脫離月球束縛必須加速做離心運(yùn)動(dòng)才行．故D錯(cuò)誤．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$和月球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$兩個(gè)公式的綜合應(yīng)用，注意軌道半徑與星體半徑的關(guān)系．