Question

15．我國發(fā)射的宇宙飛船成功地將宇航員送入太空并安全返回．如果把載人飛船繞地球運行看作是同一軌道上的勻速圓周運動，宇航員測得自己繞地心做勻速圓周運動的周期為T、距地面的高度為H，且已知地球半徑為R，引力恒量為G．據(jù)此：
（1）計算地球的密度；
（2）計算飛船線速度的大小；
（3）推導第一宇宙速度v₁的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力求出地球的質(zhì)量，再依據(jù)密度公式，即可求解；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力即可求解．
（3）第一宇宙速度是衛(wèi)星在近地圓軌道上的環(huán)繞速度，重力等于萬有引力，引力等于向心力，列式求解．

解答 解：（1）根據(jù)G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m（R+H）$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，
地球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$．
根據(jù)密度表達式，ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π（R+H）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
（2）根據(jù)圓周運動線速度定義，則有：
飛船的線速度v=$\frac{2π（R+H）}{T}$；
（3）恰能離開地球表面做圓周運動：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$；
聯(lián)立解得：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{G×\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}}{R}}$=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{{T}^{2}R}}$．
答：（1）計算地球的密度$\frac{3π（R+H）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（2）計算飛船線速度的大小$\frac{2π（R+H）}{T}$；
（3）推導第一宇宙速度v₁的表達式$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{{T}^{2}R}}$．

點評 衛(wèi)星所受的萬有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是衛(wèi)星類問題必須要考慮的問題，本題根據(jù)這兩個關系即可列式求解，注意軌道半徑與星球半徑的區(qū)別．