Question

9．如圖所示，質量為M=4.0kg的長木板A靜置在光滑水平面上，木板左端固定一根勁度系敦k=5.0×10²N/m的水平輕質彈簧B，木板右端用一根不可伸長的水平細繩連在墻上，細繩所能承受的最大拉力為T=50N，木板上表面距離地面的高度為h=0.20m，現讓質量為m=1.0kg的小球C以初速度為v₀在木板上表面無摩擦地對準彈簧向左運動，已知彈簧彈性勢能的表達式為E_P=$\frac{1}{2}$kx²（其中，k為彈簧的勁度系數，x為彈簧的形變量），取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球初速度v₀滿足什么條件時細繩能被拉斷；
（2）當小球的初速度v₀=3.0m/s時，彈簧彈性勢能的最大值．

Answer 1

分析 （1）假設繩子不斷，當滑塊速度減為零時，彈性勢能最大，彈力最大，繩子的張力最大，等于彈簧的彈力，然后根據機械能守恒定律和胡克定律列式求解．
（2）根據系統(tǒng)的機械能守恒求出繩被拉斷瞬間小物體的速度．當彈簧被壓縮至最短時彈性勢能有最大值，此時小物體和滑塊有相同的速度，從繩被拉斷后到彈簧壓縮至最短時，對小物體、滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)根據動量守恒定律和機械能守恒定律結合求解．

解答 解：（1）設彈簧壓縮量為時繩被拉斷：kx=T
從初始狀態(tài)到壓縮繩被拉斷的過程中，有：$\frac{1}{2}$kx²＜$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
故細繩被拉斷的條件為：v₀＞$\frac{T}{\sqrt{km}}$=$\frac{50}{\sqrt{5×1{0}^{2}×1}}$=$\sqrt{5}$m/s     
（2）設繩被拉斷瞬間，小球的速度為v₁，由機械能守恒有：
 $\frac{1}{2}$kx²+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₁=2m/s   
當彈簧被壓縮至最短時，彈性勢能有最大值為E_pm，小球和木板有相同的速度為v₂，從繩被拉斷后到彈簧壓縮至最短時，小球、木板和彈簧系統(tǒng)的動量守恒，機械能守恒，取向左為正方向，由動量守恒定律和機械能守恒定律得：
mv₁=（M+m）v₂；
E_pm+$\frac{1}{2}$（M+m）v₂²=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：E_pm=4.1J     
答：（1）小球初速度v₀滿足v₀＞$\sqrt{5}$m/s條件時細繩能被拉斷；
（2）當小球的初速度v₀=3.0m/s時，彈簧彈性勢能的最大值是4.1J．

點評 本題關鍵要分析清楚小球和木板的運動規(guī)律，能結合機械能守恒定律和動量守恒定律多次列式后聯立分析．