Question

8．如圖1，裝置BOO′可繞豎直軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時(shí)細(xì)線AB水平，細(xì)線AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質(zhì)量m=1kg，細(xì)線AC長L=1m，B點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的水平距離和距C點(diǎn)的豎直距離相等．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₁時(shí)，細(xì)線AB水平拉直且張力為0，求角速度ω₁的大��；
（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₂時(shí)，細(xì)線AB剛好豎直且張力為0，求角速度ω₂的大�。�
（3）裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試通過計(jì)算在如圖2的坐標(biāo)系中作出細(xì)線AC中張力T與角速度的平方ω²之間的關(guān)系圖象．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)細(xì)線AB張力為零時(shí)，小球受重力和AC繩的拉力，靠兩個(gè)力的合力提供向心力，根據(jù)小球轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑，結(jié)合牛頓第二定律求出角速度ω₁的大小．
（2）細(xì)線AB恰好豎直，但張力為零時(shí)，由幾何關(guān)系求出AC繩與豎直方向的夾角，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度ω₂的大小．
（3）根據(jù)牛頓第二定律分別求出$ω≤{ω_{1}}=\frac{5}{2}\sqrt{2}{rad/s}$時(shí)、ω₁≤ω≤ω₂時(shí)、ω＞ω₂時(shí)拉力的大小，從而確定細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系，并作出圖象．

解答 解：（1）細(xì)線AB水平拉直且張力為0時(shí)有：mgtan37°=mω₁²lsin37°
解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{g}{lcos37°}}=\sqrt{\frac{50}{4}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}rad/s$．

（2）細(xì)線AB恰好豎直，但張力為零時(shí)，由幾何關(guān)系得：
$cosθ′=\frac{3}{5}$，
則有：θ′=53°
$mgtanθ′=m{{ω}_{2}}^{2}lsinθ′$
解得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{50}{3}}rad/s$．
（3）當(dāng)ω≤ω₁時(shí)，細(xì)線AC張力的水平分量提供向心力，豎直分量與小球重力平衡，即Tcosθ=mg得T=$\frac{50}{4}$Nω₁≤ω≤ω₀時(shí)，細(xì)線AB松弛，細(xì)線AC張力的水平分量提供向心力，即Tsinϕ=mω²Lsinϕ，得T=mω²Lω＞ω₀時(shí)，細(xì)線AB對小球有向下的力作用，但是仍然是細(xì)線AC張力的水平分量提供向心力，即Tsinα=mω²Lsinα，
得T=mω²L
綜上所述，ω≤ω₁時(shí)，T=$\frac{50}{4}$N=12.5N不變?chǔ)兀睛?SUB>1時(shí)，T=mω²L=ω²
所以，細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系圖象如圖所示．
答：（1）角速度ω₁的大小為$\frac{5\sqrt{2}}{2}rad/s$．
（2）細(xì)線AB剛好豎直且張力為0，角速度ω₂的大小是$\sqrt{\frac{50}{3}}rad/s$．
（3）細(xì)線AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系圖象如圖．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵理清小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來源，確定小球運(yùn)動(dòng)過程中的臨界狀態(tài)，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．