Question

7．如圖所示，傾角為θ=60°的粗糙直軌道AB和光滑的水平軌道BP在B點(diǎn)平滑相連，BP和固定于水平地面上的豎直圓柱筒的上底內(nèi)表面相切于P點(diǎn)，圓柱筒橫截面內(nèi)徑R=0.5m，桶高為H=0.8m．現(xiàn)從A點(diǎn)由靜止釋放一質(zhì)量m=1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），小球從P點(diǎn)射出后再圓柱筒的內(nèi)表面運(yùn)動，已知小球和AB之間的動摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB之間的高度差h=1.6m，取g=10m/s²，圓柱筒內(nèi)表面光滑，求：
（1）小球運(yùn)動到P點(diǎn)的速度；
（2）小球在圓柱筒內(nèi)運(yùn)動時對圓柱筒的壓力；
（3）若要小球從P的正下方離開圓筒，則釋放高度h應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）對于AP段，運(yùn)用動能定理求出小球運(yùn)動到P點(diǎn)的速度．
（2）小球在圓柱筒內(nèi)運(yùn)動時，將其運(yùn)動分解為水平和豎直兩個平面研究，水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，由圓柱筒的彈力提供向心力，由牛頓運(yùn)動定律求小球在圓柱筒內(nèi)運(yùn)動時對圓柱筒的壓力．
（3）要小球從P的正下方離開圓筒，小球在筒內(nèi)轉(zhuǎn)過整數(shù)圈，根據(jù)自由落體運(yùn)動的規(guī)律求出小球運(yùn)動的總時間，根據(jù)總時間與水平面圓周運(yùn)動周期的關(guān)系，求出P點(diǎn)速度的條件，再由動能定理求得h的條件．

解答 解：（1）設(shè)小球運(yùn)動到P點(diǎn)的速度為v₀．對于AP段，運(yùn)用動能定理得：
mgh-μmgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=4m/s
（2）小球在圓柱筒內(nèi)運(yùn)動時，將其運(yùn)動分解為水平和豎直兩個平面研究，水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，線速度大小等于v₀，由圓柱筒的彈力提供向心力，由牛頓第二定律得：N=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$=1×$\frac{{4}^{2}}{0.5}$N=32N
由牛頓第三定律可知，小球在圓柱筒內(nèi)運(yùn)動時對圓柱筒的壓力為：N′=N=32N
（3）小球在圓筒時運(yùn)動的總時間為：t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}$=0.4s
水平面內(nèi)勻速圓周運(yùn)動的周期為：T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$
要使小球從P的正下方離開圓筒，必須滿足：t=nT，（n=1，2，3，…）
結(jié)合mgh-μmgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
解得：h=0.625π²n²，（n=1，2，3，…）
答：（1）小球運(yùn)動到P點(diǎn)的速度是4m/s；
（2）小球在圓柱筒內(nèi)運(yùn)動時對圓柱筒的壓力是32N；
（3）若要小球從P的正下方離開圓筒，則釋放高度h應(yīng)滿足的條件是h=0.625π²n²，（n=1，2，3，…）．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用運(yùn)動的分解法研究小球在筒內(nèi)的運(yùn)動，可借助于假設(shè)法來理解，知道小球做的是螺旋式運(yùn)動，要把握其周期性，得到時間的通項(xiàng)．