Question

如圖所示，離質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體表面R遠(yuǎn)處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)M對(duì)m的萬(wàn)有引力為F₁；當(dāng)從M中挖去一半徑為r=

1

2

R的球體時(shí)，剩下部分對(duì)m的萬(wàn)有引力為F₂．則F₁與F₂之比是多少？

Answer 1

質(zhì)點(diǎn)與大球球心相距2R，其萬(wàn)有引力為F₁，則F₁=G

Mm

(2R)2

=

1

4

G

Mm

R2

大球質(zhì)量M=ρ×

4

3

πR ³，挖去的小球質(zhì)量M′=ρ×

4

3

π（

R

2

）³，
即M′=

1

8

ρ×

4

3

πR³=

M

8

小球球心與質(zhì)點(diǎn)間相距

3

2

R，小球與質(zhì)點(diǎn)間的萬(wàn)有引力為：
F₁′=G

M′m

( 3 2 R)2

=

1

18

G

Mm

R2

則剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬(wàn)有引力為：
F₂=F₁-F₁′=

1

4

G

Mm

R2

-

1

18

G

Mm

R2

=

7

36

G

Mm

R2

 
故 

F1

F2

=

9

7

．
答：F₁與F₂之比是9：7．