Question

3．2015年9月18日消息，美國(guó)“天龍?zhí)枴陛d人太空船2017年前往國(guó)際空間站．假設(shè)太空船與國(guó)際空間站都位于離地球表面為H的圓形軌道上，國(guó)際空間站在太空船前方，如圖所示，已知地球半徑為R₀，地球表面重力加速度為g，第一宇宙速度為v，求：
（1）在圓形軌道上，太空船向心加速度的大小；
（2）在圓形軌道上，太空船速度的大��；
（3）對(duì)接時(shí)，太空船需先進(jìn)入半徑較小的軌道，才有較大的角速度追上空間站，試判斷太空船要進(jìn)入較低軌道時(shí)應(yīng)增加還是減小其原有速率，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用向心加速度公式計(jì)算；
（2）利用線速度與向心加速度的關(guān)系，求太空船速度的大小；
（3）要增大角速度，必須要減速才能進(jìn)入低軌道．

解答 解：（1）在地球表面處，由重力等于萬(wàn)有引力得：m₀g=$G\frac{M{m}_{0}}{{R}_{0}^{2}}$
太空船所在軌道上的向心加速度為：a=$G\frac{M}{{（R}_{0}+H）^{2}}═\frac{g{R}_{0}^{2}}{（{R}_{0}+H）^{2}}$；
（2）太空船所在軌道上的向心加速度為：a=$\frac{g{R}_{0}^{2}}{（{R}_{0}+H）^{2}}$=$\frac{{v}^{2}}{{R}_{0}+H}$
可得：$v=\sqrt{\frac{g{R}_{0}^{2}}{{R}_{0}+H}}$；
（3）由$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR{ω}^{2}$
知太空船要進(jìn)入較低軌道，才有較大的角速度追上空間站，必須有萬(wàn)有引力大于太空船做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，
故當(dāng)v減小時(shí)，$m\frac{{v}^{2}}{R}$減小，則G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$＞$m\frac{{v}^{2}}{R}$
答：（1）在圓形軌道上，太空船向心加速度的大小為$\frac{g{R}_{0}^{2}}{（{R}_{0}+H）^{2}}$；
（2）在圓形軌道上，太空船速度的大小為$v=\sqrt{\frac{g{R}_{0}^{2}}{{R}_{0}+H}}$；
（3）對(duì)接時(shí)，太空船需先進(jìn)入半徑較小的軌道，才有較大的角速度追上空間站，太空船要進(jìn)入較低軌道時(shí)應(yīng)減小其原有速率，理由是必須有萬(wàn)有引力大于太空船做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，故應(yīng)減小其原有速率．

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力定律以及勻速圓周的知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度中上．特別要注意向心力公式較多，要根據(jù)具體題目情況，合理選擇公式．另外解決萬(wàn)有引力的題目時(shí)有一個(gè)萬(wàn)能代換公式GM=gR²，第（1）問(wèn)就用到了該公式．