Question

15．測試土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運動可視為圓周運動．其中有兩個巖石顆粒A和B與土星中心距離分別為R_A=1.2×10⁵Km和R_B=0.75×10⁴Km．忽略所有巖石顆粒間的相互作用．
（1）求巖石顆粒A和B的周期之比．
（2）土星探測器上有一物體，在地球上重為10N，推算出它在距土星中心3.2×10³Km處受到土星的引力為0.4N．已知地球半徑為6.4×10³Km，請估算土星質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍？

Answer 1

分析 （1）由萬有引力提供向心力的周期表達式，可以得到AB的周期比值
（2）由地球上萬有引力對終于的引力，和在土星空中受到的引力，兩式聯(lián)立可以解得土星與地球質(zhì)量的關(guān)系．

解答 解：（1）萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（{\frac{2π}{T}）}^{2}$R，解得：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$，
周期之比：$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\frac{2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{A}^{3}}{GM}}}{2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{B}^{3}}{GM}}}$=$\sqrt{\frac{{R}_{A}^{3}}{{R}_{B}^{3}}}$=$\frac{64}{1}$；
（2）星球表面的物體受到的重力等于星球?qū)ξ矬w的萬有引力，
物體在地球表面時：mg=G$\frac{{M}_{地球}m}{{R}_{地球}^{2}}$，
物體繞土星運動時：F=G$\frac{{M}_{土星}m}{{R}_{土星}^{2}}$，
把：mg=10N，F(xiàn)=0.4N代入，解得：M_土星=100M_地球；
答：（1）巖石顆粒A和B的周期之比為64：1；
（2）土星質(zhì)量是地球質(zhì)量的100倍．

點評 本題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，要知道在你地球表面萬有引力可以認(rèn)為等于重力，雖然兩者由微小差別，但是在天體運行中，我們多是這么樣近似的．