Question

19．物理學家在研究物理問題時，常常抓住問題的主要因素，忽略問題的次要因素，從而抽象出一個物理模型．比如，在高中階段研究有關彈簧的問題時，由于彈簧本身質(zhì)量很小，所以將彈簧抽象為質(zhì)量不計的輕彈簧．為了探討這種研究問題方法的可行性，我們以下面的問題為例進行探究．如圖所示，水平光滑地面 上放有兩個滑塊A和B，質(zhì)量分別為m和2m，其中B滑塊上安裝一只質(zhì)量很小的輕彈簧，現(xiàn)給A一個初速度，大小為v₀，則：
①在不計彈簧質(zhì)量的情況下，計算當彈簧壓縮最短時，彈簧儲存的彈性勢能E_p；
②現(xiàn)考慮彈簧質(zhì)量，設彈簧質(zhì)量為$\frac{m}{20}$，請重新計算當彈簧壓縮最短時，彈簧儲存的彈性勢能E_p′并計算與①中E_p的比值$\frac{{E}_{p}′}{{E}_{p}}$．

Answer 1

分析 ①當兩個滑塊速度相等時彈簧壓縮量最大，彈性勢能最大．滑塊A、B系統(tǒng)動量守恒，根據(jù)動量守恒定律求解共同速度；根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒定律求解彈簧儲存的彈性勢能E_p；
②現(xiàn)考慮彈簧質(zhì)量，兩個滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)動量守恒，再由系統(tǒng)的機械能守恒定律求解彈簧儲存的彈性勢能E_p′，再計算與①中E_p的比值$\frac{{E}_{p}′}{{E}_{p}}$．

解答 解：①在不計彈簧質(zhì)量的情況下，兩個滑塊的總動量守恒．當彈簧壓縮最短時，兩個滑塊的速度相等，設為v．取向右為正方向，由動量守恒定律得：
mv₀=3mv
由機械能守恒定律得彈簧儲存的彈性勢能為：
E_p=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$•3mv²
聯(lián)立解得：E_p=$\frac{1}{3}$mv₀²
②考慮彈簧質(zhì)量，兩個滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)動量守恒，則有：
mv₀=（3m+$\frac{m}{20}$）v′
由機械能守恒定律得：
E_p′=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$（3m+$\frac{m}{20}$）v′²
解得：E_p′=$\frac{41}{122}$mv₀²
則比值為：$\frac{{E}_{p}′}{{E}_{p}}$=$\frac{123}{122}$
答：①在不計彈簧質(zhì)量的情況下，當彈簧壓縮最短時，彈簧儲存的彈性勢能E_p是$\frac{1}{3}$mv₀²．
②現(xiàn)考慮彈簧質(zhì)量，當彈簧壓縮最短時，彈簧儲存的彈性勢能E_p′是$\frac{41}{122}$mv₀²，比值$\frac{{E}_{p}′}{{E}_{p}}$是$\frac{123}{122}$．

點評 本題關鍵要明確當兩個滑塊速度相等時彈簧壓縮量最大，彈性勢能最大；然后根據(jù)機械能守恒定律和動量守恒定律列式后聯(lián)立求解．