Question

3．如圖所示，xOy為一豎直平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系，y軸沿豎直方向，OA為豎直平面內(nèi)的光滑拋物線軌道，其方程為：y=$\frac{1}{5}$x² （式中x、y的單位均為國(guó)際單位 m）．將穿在此軌道上的光滑小環(huán)從O點(diǎn)由靜止釋放后，其沿軌道下滑，P是拋物線軌道上的一點(diǎn)．已知O、P兩點(diǎn)的連線與豎直方向的夾角為45°，取g=10m/s²，下列說法正確的是（　�。�

• A． 小環(huán)沿軌道下滑的過程中機(jī)械能增大
• B． 小環(huán)通過P點(diǎn)時(shí)的速度大小為10 m/s
• C． 小環(huán)從O點(diǎn)到P點(diǎn)的平均速度大小為10 m/s
• D． 小環(huán)到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，其速度方向與y軸正向的夾角的正切值為$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，結(jié)合方程y=$\frac{1}{5}$x²，即可求得P點(diǎn)瞬時(shí)速度；根據(jù)平均速度等于位移與時(shí)間的比值，及速度方向即為某點(diǎn)的切線方向，從而即可求解．

解答 解：A、小球向下運(yùn)動(dòng)的過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒．故A錯(cuò)誤；
B、由題y=$\frac{1}{5}$x²易得P點(diǎn)坐標(biāo)值x=y=5 m，則v=$\sqrt{2gy}$=$\sqrt{2×10×5}$=10 m/s，故B正確；
C、小環(huán)做變加速運(yùn)動(dòng)，沿豎直方向的加速度小于g，所以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一定大于1s；為從O點(diǎn)到P點(diǎn)的位移：$s=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}=5\sqrt{2}$m
所以平均速度$\overline{v}=\frac{s}{t}$一定小于10 m/s，故C錯(cuò)誤；
D、方程為：y=$\frac{1}{5}$x² 為拋物線方程，其P點(diǎn)的切線方向與x軸之間的夾角滿足：$tanθ=2•\frac{x}{y}=2$
所以P點(diǎn)的切線方向與y軸之間的夾角滿足：$tanβ=\frac{1}{tanθ}=\frac{1}{2}$
根據(jù)曲線運(yùn)動(dòng)的速度方向沿曲線的切線方向可知，小環(huán)到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，其速度方向與y軸正向的夾角的正切值為$\frac{1}{2}$．故D正確．
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活求解．