Question

10．如圖所示是湯姆生當(dāng)年用來測定電子比荷的實(shí)驗(yàn)裝置，真空玻璃管內(nèi)C、D為平行板電容器的兩極，圓形陰影區(qū)域內(nèi)可由管外電磁鐵產(chǎn)生一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），圓形區(qū)域的圓心位于C、D中心線的中點(diǎn)，直徑與極板C、D的長度相等．已知極板C、D間的距離為d，C、D的長度為L₁=4d，極板右端到熒光屏的距離為L₂=10d．由K發(fā)出的電子，不計(jì)初速，經(jīng)A與K之間的高電壓加速后，形成一束很細(xì)的電子流，電子流沿C、D中心線進(jìn)入板間區(qū)域，A與K之間的電壓為U₁．
若C、D間無電壓無磁場，則電子將打在熒光屏上的O點(diǎn)；若在C、D間只加上電壓U₂，則電子將打在熒光屏上的P點(diǎn)，若再在圓形區(qū)域內(nèi)加一方向垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，則電子又打在熒光屏上的O點(diǎn)．不計(jì)重力影響．求：
（1）電子的比荷表達(dá)式．
（2）P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離h₁．
（3）若C、D間只有上面的磁場而撤去電場，則電子又打在熒光屏上的Q點(diǎn)（圖中未標(biāo)出），求Q點(diǎn)到O點(diǎn)的距離h₂．已知tan2a=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)電子在極板C、D間受到電場力與洛倫茲力平衡時(shí)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力平衡，由平衡條件可求出電子的比荷．
（2）極板間僅有偏轉(zhuǎn)電場時(shí)，電子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解成沿電場強(qiáng)度方向與垂直電場強(qiáng)度方向，然后由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出偏轉(zhuǎn)距離和離開電場時(shí)的速度．電子離開電場后，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從而可以求出偏轉(zhuǎn)距離h₁．
（3）極板C、D間僅有勻強(qiáng)磁場時(shí)，電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，射出磁場后電子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，畫出電子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何知識求解h₂．

解答 解：（1）加上磁場后，電子所受電場力與洛侖茲力相等，電子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有：
EevB=eE
又E=$\frac{{U}_{2}}4gasmug$
即$v=\frac{{U}_{2}}{Bd}$
電子在A與K之間加速，有動(dòng)能定理：$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0=e{U}_{1}$
所以：$\frac{e}{m}=\frac{{U}_{2}^{2}}{2{B}^{2}ys8keu8^{2}{U}_{1}}$
（2）若在兩極板間加上電壓U₂
電子在水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，通過極板所需的時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{{L}_{1}}{v}$
電子在豎直方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為：$a=\frac{e{U}_{2}}{md}$
在時(shí)間t1內(nèi)垂直于極板方向豎直向下偏轉(zhuǎn)的距離為：$y=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{{U}_{2}{L}_{1}^{2}}{4d{U}_{1}}=\frac{4{U}_{2}d}{{U}_{1}}$
根椐相似三角形：$\frac{{h}_{1}}{y}=\frac{\frac{1}{2}{L}_{1}+{L}_{2}}{\frac{1}{2}{L}_{1}}=6$
得：${h}_{1}=\frac{24{U}_{2}d}{{U}_{1}}$
（3）電子進(jìn)入磁場：$eBv=\frac{m{v}^{2}}{r}$
由（1）知：$v=\frac{{U}_{2}}{Bd}$，$\frac{e}{m}=\frac{{U}_{2}^{2}}{2{B}^{2}ogi2wag^{2}{U}_{1}}$
得到：$r=\frac{2{U}_{1}d}{{U}_{2}}$，$tanα=\frac{\frac{1}{2}{L}_{1}}{r}=\frac{{U}_{2}{L}_{1}}{4{U}_{1}d}=\frac{{U}_{2}}{{U}_{1}}$，
$tanθ=\frac{2{U}_{1}{U}_{2}}{{U}_{1}^{2}-{U}_{2}^{2}}$
由：${h}_{2}=（\frac{{L}_{1}}{2}+{L}_{2}）tanθ$
所以：${h}_{2}=\frac{24{U}_{1}{U}_{2}d}{{U}_{1}^{2}-{U}_{2}^{2}}$

答：（1）電子的比荷表達(dá)式為：$\frac{e}{m}=\frac{{U}_{2}^{2}}{2{B}^{2}42y6eum^{2}{U}_{1}}$．
（2）P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離是$\frac{24{U}_{2}d}{{U}_{1}}$．
（3）若C、D間只有上面的磁場而撤去電場，則電子又打在熒光屏上的Q點(diǎn)（圖中未標(biāo)出），Q點(diǎn)到O點(diǎn)的距離是$\frac{24{U}_{1}{U}_{2}d}{{U}_{1}^{2}-{U}_{2}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題是組合場問題：對速度選擇器，根據(jù)平衡條件研究；對于類平拋運(yùn)動(dòng)的處理，通常采用運(yùn)動(dòng)的分解法律：將運(yùn)動(dòng)分解成相互垂直的兩方向運(yùn)動(dòng)，將一個(gè)復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)簡單的直線運(yùn)動(dòng)，并用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式來求解．對于帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)，要正確畫出軌跡，運(yùn)用幾何知識進(jìn)行解題．