Question

18．小轎車(chē)以20m/s的速度在平直公路上勻速行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)正前方有個(gè)收費(fèi)站，經(jīng)20s后司機(jī)才開(kāi)始剎車(chē)使車(chē)勻減速恰停在繳費(fèi)窗口，繳費(fèi)后勻加速到20m/s后繼續(xù)勻速前行．已知小轎車(chē)剎車(chē)時(shí)的加速度大小為2m/s²，停車(chē)?yán)U費(fèi)所用時(shí)間為30s，啟動(dòng)時(shí)加速度為1m/s²．
（1）司機(jī)是在離收費(fèi)窗口多遠(yuǎn)處發(fā)現(xiàn)收費(fèi)站的；
（2）因國(guó)慶放假期間，全國(guó)高速路免費(fèi)通行，小轎車(chē)可以不停車(chē)通過(guò)收費(fèi)站，但要求轎車(chē)通過(guò)收費(fèi)窗口前9m區(qū)間不超過(guò)6m/s，則國(guó)慶期間小轎車(chē)離收費(fèi)窗口至少多遠(yuǎn)處開(kāi)始剎車(chē)？因不停車(chē)通過(guò)至少可以節(jié)約多少時(shí)間？

Answer 1

分析 （1）解出勻速運(yùn)動(dòng)的位移，再解出勻減速運(yùn)動(dòng)的位移，兩位移相加即為要求的距離；
（2）分段研究，收費(fèi)時(shí)總時(shí)間為：減速到0的時(shí)間，加上收費(fèi)的時(shí)間，再加上加速到20m/s的時(shí)間；不收費(fèi)時(shí)的總時(shí)間為：減速到6m/s的時(shí)間，加上勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，加上加速到20m/s的時(shí)間，還要加上勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；上述時(shí)間的差值即為節(jié)約的時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)題意，設(shè)司機(jī)勻速運(yùn)動(dòng)位移為 s₁；減速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂，位移為s₂．
s₁=vt=20×20m=400m，
t₂=$\frac{v}{a}=\frac{20}{2}s=10s$，
${s}_{2}=v{t}_{2}-\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$=20×10-$\frac{1}{2}$×2×10²=100m，
所以司機(jī)在離收費(fèi)站窗口100m+400m=500m處發(fā)現(xiàn)收費(fèi)站的．
（2）根據(jù)題意轎車(chē)應(yīng)該在收費(fèi)窗口前9m處速度減為6m/s，設(shè)車(chē)減速位移為s₁′，
由2as=${v}_{t}^{2}-{v}_{0}^{2}$得：${s}_{1}′=\frac{{v}_{t}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2a}=\frac{{6}^{2}-2{0}^{2}}{-2×2}=90m$，
所以，轎車(chē)應(yīng)離收費(fèi)窗口91m+9m=100m處開(kāi)始剎車(chē)．
設(shè)停車(chē)收費(fèi)后加速時(shí)間為t₃，位移為s₃，則有：${t}_{3}=\frac{v}{a′}=20s$，
${s}_{3}=\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}=200m$，
若停車(chē)收費(fèi)經(jīng)過(guò)窗口前100m到窗后200m的總時(shí)間為：t₁+t₂+t₃=10s+30s+20s=60s
若不停車(chē)收費(fèi)也是窗前100m開(kāi)始剎車(chē)，時(shí)間為：${t}_{4}=\frac{{v}_{t}-{v}_{0}}{a}=\frac{6-20}{-2}s=7s$，
窗口前勻速時(shí)間：${t}_{5}=\frac{s}{v}=\frac{9}{6}s=1.5s$，
窗口后加速到20m/s所用時(shí)間為：${t}_{6}=\frac{{v}_{t}-{v}_{0}}{a′}=\frac{20-6}{1}s=14s$，
加速運(yùn)動(dòng)的位移由：$s={v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：${s}_{3}′=6×14+\frac{1}{2}×1×1{4}^{2}=182m$，
窗口后還有200-182=18（m）勻速運(yùn)動(dòng)，其時(shí)間為：${t}_{7}=\frac{18}{20}s=0.9s$，
若不停車(chē)經(jīng)過(guò)窗口前100m到窗口后200m的總時(shí)間為：t₄+t₅+t₆+t₇=7+1.5s+14s+0.9s=23.4s，
所以不停車(chē)通過(guò)可以節(jié)約時(shí)間為60s-23.4s=36.6s的時(shí)間．
答：（1）司機(jī)是在離收費(fèi)窗口500m發(fā)現(xiàn)收費(fèi)站的．
（2）國(guó)慶期間該小轎車(chē)應(yīng)離收費(fèi)窗口100m開(kāi)始剎車(chē)．因不停車(chē)通過(guò)可以節(jié)約36.6s．

點(diǎn)評(píng) 此題運(yùn)動(dòng)的過(guò)程復(fù)雜，轎車(chē)經(jīng)歷減速、勻速、加速，加速度、位移、時(shí)間等都不一樣．分析這樣的問(wèn)題時(shí)，要能在草稿子上畫(huà)一畫(huà)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程圖，找出空間關(guān)系，有助于解題．