Question

4．如圖所示，一水平光滑、距地面高為 h、邊長(zhǎng)為a的正方形 MNPQ 桌面上，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的不可伸長(zhǎng)的輕繩連接質(zhì)量分別為m_A、m_B的A、B兩小球．兩小球在繩子拉力的作用下，繞繩子上的某點(diǎn)O以不同的線速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心O與桌面中心重合．已知mΑ=0.5kg，L=1.2m，LΑΟ=0.8m，a=2.1m，h=1.25m，A球的速度大小v_A=0.4m/s，重力加速度g取10m/s²，求：
（1）繩子上的拉力F以及B球的質(zhì)量m_B；
（2）若當(dāng)繩子與MN平行時(shí)突然斷開(kāi)，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩球的距離變?yōu)?.5m？
（3）兩小球落至地面時(shí)，落點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拉力提供向心力，通過(guò)牛頓第二定律求出繩子的拉力，抓住兩球的角速度相等，向心力相等，求出質(zhì)量的關(guān)系，從而求出B球的質(zhì)量．
（2、3）繩子斷裂后，兩球在桌面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)桌面后做平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合幾何關(guān)系求出過(guò)1.5s兩球的水平距離以及落點(diǎn)間的距離．

解答 解：（1）F=m_A$\frac{{{v}_{A}}^{2}}{{L}_{AO}}$=0.5×$\frac{0．{4}^{2}}{0.8}$ N=0.1 N，
由F=m_Aω²L_OA=m_Bω²L_OB
得m_B=m_A$\frac{LOA}{LOB}$=1 kg．
（2）繩子斷裂后，兩球在水平方向上一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)，x=（v_A+v_B）t₁=0.6×1.5 m=0.9 m，
水平距離為s=$\sqrt{{x}^{2+}{L}^{2}}$=$\sqrt{0．{9}^{2}+1．{2}^{2}}$ m=1.5 m．
（3）兩球離開(kāi)桌面做平拋運(yùn)動(dòng)，t₂=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}$s=0.5 s，
x′=（v_A+v_B）t₂+a=0.6×0.5 m+2.1 m=2.4 m．
距離為s′=$\sqrt{x{′}^{2+}L{\;}^{2}}$=$\sqrt{2．{4}^{2}+1．{2}^{2}}$ m=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$ m≈2.68m．
答：（1）繩子上的拉力F為0.1N，B球的質(zhì)量為1kg．
（2）經(jīng)過(guò)1.5s兩球的水平距離為1.5m．
（3）兩小球落至地面時(shí)，落點(diǎn)間的距離為2.68m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道兩球具有相同的角速度、向心力，繩子斷裂后，在水平方向上一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)．