Question

如圖甲所示的控制電子運(yùn)動(dòng)裝置由偏轉(zhuǎn)電場、偏轉(zhuǎn)磁場組成．偏轉(zhuǎn)電場處在加有電壓U、相距為d的兩塊水平平行放置的導(dǎo)體板之間，勻強(qiáng)磁場水平寬度一定，豎直長度足夠大，其緊靠偏轉(zhuǎn)電場的右邊．大量電子以相同初速度連續(xù)不斷地沿兩板正中間虛線的方向向右射入導(dǎo)體板之間．當(dāng)兩板間沒有加電壓時(shí)，這些電子通過兩板之間的時(shí)間為2t₀；當(dāng)兩板間加上圖乙所示的電壓U時(shí)，所有電子均能通過電場、穿過磁場，最后打在豎直放置的熒光屏上．已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e，不計(jì)電子的重力及電子間的相互作用，電壓U的最大值為U₀，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向水平且垂直紙面向里．
（1）如果電子在t=t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間，求它離開偏轉(zhuǎn)電場時(shí)豎直分位移的大�。�
（2）要使電子在t=0時(shí)刻進(jìn)入電場并能最終垂直打在熒光屏上，勻強(qiáng)磁場的水平寬度l為多少？
（3）在滿足第（2）問的情況下，打在熒光屏上的電子束的寬度為多少？

Answer 1

分析：沒有電場時(shí)電子在平行板間勻速直線運(yùn)動(dòng)，有電場時(shí)電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系求解．

解答：解：（1）電子在t=t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間，先做勻速運(yùn)動(dòng)，后做類平拋運(yùn)動(dòng)
在2t₀～3t₀時(shí)間內(nèi)發(fā)生偏轉(zhuǎn)y=

1

2

a

t

2 0

=

1

2

eE

m

t

2 0

=

1

2

×

eU0

md

×

t

2 0

=

eU0 t 2 0

2md

（2）設(shè)電子從電場中射出的偏向角為θ，速度為v，如圖所示：

則：
vy=at0=

eU0t0

md

sinθ=

vy

v

=

eU0t0

mdv

電子通過勻強(qiáng)磁場并能垂直打在熒光屏上，設(shè)其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R
根據(jù)牛頓第二定律有evB=m

v2

R

根據(jù)幾何關(guān)系得：sinθ=

l

R

得水平寬度l=

U0t0

Bd

（3）由題意可知，要使電子的側(cè)向位移最大，應(yīng)讓電子從0、2t₀、4t_o…等時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場，在這種情況下，電子的偏向位移為
ymax=

1

2

a

t

2 0

+vyt0=

1

2

×

eU0

md

×

t

2 0

+

eU0

md

t

2 0

要使電子的側(cè)向位移最小，應(yīng)讓電子從t₀、3t_o…等時(shí)刻進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場，在這種情況下，電子的側(cè)向位移為mdymin=

1

2

a

t

2 0

=

1

2

×

eU0

md

t

2 0

所以電子從偏轉(zhuǎn)電場中出來時(shí)的最大側(cè)向位移和最小側(cè)向位移的差值為：
△y=y_max-y_min=

eU0

md

t

2 0

因進(jìn)入偏轉(zhuǎn)磁場時(shí)電子速度大小v=

v 2 0 + v 2 y

相同，方向平行，所以電子在磁場中的軌道半徑相同，都垂直打在熒光屏上，所以打在熒光屏上的電子束寬度為
△y=

eU0

md

t

2 0

答：（1）如果電子在t=t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間，求它離開偏轉(zhuǎn)電場時(shí)豎直分位移的大小為

eU0 t 2 0

2md

．
（2）要使電子在t=0時(shí)刻進(jìn)入電場并能最終垂直打在熒光屏上，勻強(qiáng)磁場的水平寬度l為l=

U0t0

Bd

；
（3）在滿足第（2）問的情況下，打在熒光屏上的電子束的寬度為

eU0

md

t

2 0

．

點(diǎn)評：會用運(yùn)動(dòng)的合成與分解處理類平拋運(yùn)動(dòng)問題，根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)的受力情況，確定粒子運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，確定物體運(yùn)動(dòng)的軌跡并能根據(jù)幾何關(guān)系求解．