Question

14．如圖所示，質(zhì)量為M=1kg，長為L=2.7m的木板，其上表面光滑且距離水平地面的高度為h=0.2m，在水平面上向右做直線運(yùn)動(dòng)，A、B是其左右兩個(gè)端點(diǎn)．當(dāng)木板的速度v₀=4m/s時(shí)對木板施加一個(gè)大小為3N的水平向左的恒力F，并同時(shí)將一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小球輕放在木板上的P點(diǎn)（小球可視為質(zhì)點(diǎn)，放在P點(diǎn)時(shí)相對于地面的速度為零），PB=$\frac{L}{3}$，經(jīng)過一段時(shí)間，小球從木板脫離后落到地面上．已知木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，g取10m/s²．求：
（1）小球從放到木板上開始至落到地面所用的時(shí)間；
（2）小球落地瞬間木板的速度．

Answer 1

分析 （1）木板上表面光滑，木板向右做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，小木塊不動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律求出木板的加速度，由速度時(shí)間公式求出木板速度為零時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間，并求得該過程木板位移．此后木板速度為零后向左做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出加速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求小木塊從木板上脫離時(shí)所用時(shí)間．木塊從木板上脫離后做自由落體運(yùn)動(dòng)，由高度求得時(shí)間，從而求得總時(shí)間．
（2）小木塊下落的過程中，由牛頓第二定律求木板的加速度，再由速度時(shí)間公式可求得小木塊落地瞬間木板的速度．

解答 解：（1）對木板施加恒力F后，木板向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為
F+μ（M+m）g=Ma
解得a=5m/s²
木板速度減為零時(shí)，向右的位移為x₀，所用時(shí)間為
${x}_{0}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}=\frac{{4}^{2}}{2×5}m=1.6m＜\frac{2L}{3}=1.8m$
${t}_{0}=\frac{{v}_{0}}{a}=\frac{4}{5}s=0.8s$
此后木板向左做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，小球再經(jīng)過t₁時(shí)間從木板右端B落下
F-μ（M+m）g=Ma₁
解得${a}_{1}=1m/{s}^{2}$
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知
${x}_{0}+\frac{L}{3}=\frac{1}{2}{{a}_{1}t}_{1}^{2}$
t₁=$\sqrt{5}$s
小球落地所需的時(shí)間${t}_{2}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$=0.2s   
小球落地的總時(shí)間為t=t₀+t₁+t₂=$\sqrt{5}+1s$
（2）小球剛離開木板瞬間木板速度    ${v}_{1}={a}_{1}{t}_{1}=\sqrt{5}m/s$     
小球離開后，木板的加速度         ${a}_{2}=\frac{μMg}{M}=μg=1m/{s}^{2}$
所以小球落到地面時(shí)，木板的速度 v₂=v₁+a₂t₂=2.63m/s  
答：（1）小球從放到木板上開始至落到地面所用的時(shí)間為$\sqrt{5}+1s$；
（2）小球落地瞬間木板的速度為2.63m/s．

點(diǎn)評 本題對長木板的運(yùn)動(dòng)情況要分段討論，要注意不同過程木板受力情況的變化，知道木塊在木板上滑行時(shí)木板對地面的壓力等于兩者的總重力