Question

7．如圖所示，質(zhì)量為3m的重物與一質(zhì)量為m的線框用一根絕緣細(xì)線連接起來，掛在兩個(gè)高度相同的定滑輪上，已知線框電阻為R，橫邊邊長為L，水平方向勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場上下邊界的距離、線框豎直邊長均為h．初始時(shí)刻，磁場的下邊緣和線框上邊緣的高度差為2h，將重物從靜止開始釋放，線框穿出磁場前，若線框已經(jīng)做勻速直線運(yùn)動，滑輪質(zhì)量、摩擦阻力均不計(jì)．求：
（1）線框進(jìn)入磁場時(shí)的速度．
（2）線框進(jìn)入磁場后，若某一時(shí)刻的速度為v，則其加速度多大？
（3）線框穿出磁場時(shí)的速度多大？
（4）線框通過磁場的過程中產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）線框進(jìn)入磁場前，根據(jù)重物與線框組成的機(jī)械能守恒求解線框進(jìn)入磁場時(shí)的速度；
（2）若某一時(shí)刻的速度為v，推導(dǎo)出安培力，運(yùn)用牛頓第二定律列式求解加速度；
（3）推導(dǎo)出安培力表達(dá)式，由平衡條件也可求得線框穿出磁場時(shí)的速度；
（4）線框的高度與磁場的高度相等，線框通過磁場的過程都做勻速直線運(yùn)動；根據(jù)能量守恒定律求解產(chǎn)生的熱量Q．

解答 解：（1）線框進(jìn)入磁場前，對線框和重物整體受力分析，
有3mg-mg=（3m+m）a
可得勻加速直線運(yùn)動的加速度a=0.5g
線框剛好進(jìn)入磁場時(shí)，位移為2h，
由v²=2ax
可得v=$\sqrt{2gh}$
（2）線框進(jìn)入磁場后，若某一時(shí)刻的速度為v，
則有安培力F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
對整體分析有3mg-mg-F=（3m+m）a
可得加速度a=$\frac{1}{2}$g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{4mR}$
（3）線框穿出磁場時(shí)，已經(jīng)做勻速直線運(yùn)動，
那么重物也是勻速直線運(yùn)動，拉力T=3mg
對線框受力分析有拉力豎直向上T=3mg
自身重力豎直向下為mg，以及豎直向下的安培力BIL=B$\frac{BLv}{R}$L
所以有3mg=mg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
可得速度v=$\frac{2mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（4）從釋放到線框離開磁場的過程，對整體根據(jù)能量守恒有：
-3mg×4h+mg×4h+$\frac{1}{2}$（m+3m）v²+Q=0
整理可得：Q=8mgh-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）線框進(jìn)入磁場時(shí)的速度是$\sqrt{2gh}$；
（2）線框進(jìn)入磁場后，若某一時(shí)刻的速度為v，則其加速度是$\frac{1}{2}$g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{4mR}$；
（3）線框穿出磁場時(shí)的速度是$\frac{2mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（4）線框通過磁場的過程中產(chǎn)生的熱量8mgh-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評 本題力學(xué)知識與電磁感應(yīng)的綜合，要認(rèn)真審題，明確物體運(yùn)動的過程，正確分析受力及各力的做功情況，要熟練推導(dǎo)或記住安培力的表達(dá)式F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$．