Question

16．2007年10月24日18時(shí)5分，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用“長(zhǎng)征三號(hào)甲”運(yùn)載火箭將“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星成功送入太空．“嫦娥一號(hào)”繞月探測(cè)飛行將完成四大科學(xué)探測(cè)任務(wù)獲取月球全表現(xiàn)三維圖象；分析月球表面化學(xué)元素和物質(zhì)類型的含量和分布；探測(cè)月壤特性；探測(cè)4萬至40萬公里間地月空間環(huán)境．現(xiàn)已知地球自轉(zhuǎn)周期為T₀，月球半徑R，衛(wèi)星距離月球高度h，月球表面重力加速度為g，萬有引力常量G．下列說法中正確的是（　�。�

• A． “嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星繞月球運(yùn)行的速率v=$\sqrt{g（R+h）}$
• B． “嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星和地球的角速度之比為$\frac{{T}_{0}}{2π}$$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$
• C． 利用以上數(shù)據(jù)可以求出月球的質(zhì)量
• D． 月球的密度ρ=$\frac{3Gg}{4πR}$

Answer 1

分析 由題意可知，可以求出衛(wèi)星的軌道半徑，衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由月球的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出“嫦娥一號(hào)”的線速度與角速度；然后結(jié)合密度公式分析能否求出月球的質(zhì)量和密度．根據(jù)月球?qū)πl(wèi)星的萬有引力等于衛(wèi)星的重力，得到月球表面的重力加速度．

解答 解：設(shè)該衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T、質(zhì)量為m，月球的半徑為R、質(zhì)量為M，衛(wèi)星距月球表面的高度為h，由題意知，衛(wèi)星的軌道半徑r=R+h，
“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星在月球表面受到的吸引力：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$，所以，g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
A、衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$
所以：v=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．故A錯(cuò)誤；
B、衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=mω²（R+h）
所以：ω=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$
地球自轉(zhuǎn)的角速度：$ω′=\frac{2π}{{T}_{0}}$
所以“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星和地球的角速度之比為$\frac{{T}_{0}}{2π}$$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$．故B正確；
C、衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），
則月球質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，故C正確；
D、月球的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，故D錯(cuò)誤；
故選：BC

點(diǎn)評(píng) 已知衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑，可求出月球的質(zhì)量，這個(gè)結(jié)果可推廣到行星繞太陽(yáng)：若已知行星的公轉(zhuǎn)半徑和周期，可求出太陽(yáng)的質(zhì)量．