Question

8．如圖所示，粗糙的斜面AB下端與光滑的圓弧軌道BCD相切與B，整個裝置豎直放置，C是最低點(diǎn)，圓心角∠BOC=θ=37°，D與圓心O等高．圓弧軌道半徑R=0.5m，斜面長L=2m．整個軌道除AB段以外都是光滑的．現(xiàn)有一個質(zhì)量m=0.1kg的小物體以初速度v₀=4m/s，從某一高處水平拋出，到A點(diǎn)時速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道的動摩擦因數(shù)μ=0.5．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）小物塊的拋出點(diǎn)和A點(diǎn)的高度差；
（2）小物塊第一次通過B、D點(diǎn)時的速度；
（3）物體第一次離開D點(diǎn)從空中又返回到圓軌道和斜面，在往復(fù)運(yùn)動的過程中，物塊通過C點(diǎn)處，軌道對物塊的最小壓力為多大？

Answer 1

分析 （1）小物體開始做平拋運(yùn)動，經(jīng)過A點(diǎn)時速度沿斜面向下，運(yùn)用速度的分解法得到水平和豎直分速度的關(guān)系，求出豎直分速度，再由自由落體運(yùn)動的規(guī)律求出拋出點(diǎn)和A點(diǎn)的高度差；
（2）根據(jù)動能定理求出小物塊第一次通過B、D點(diǎn)時的速度；
（3）在往復(fù)運(yùn)動的過程中，物體的機(jī)械能逐漸減小，最終在以B為最高點(diǎn)的圓弧上往復(fù)運(yùn)動，由機(jī)械能守恒求出物塊通過C點(diǎn)處的速度，由牛頓運(yùn)動定律求出軌道對物塊的最小壓力．

解答 解：（1）設(shè)物塊的拋出點(diǎn)和A點(diǎn)的高度差為h，到達(dá)A點(diǎn)時豎直方向的速度大小為v_y，由題意得：
tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
解得：v_y=v₀tan37°
又v_y=$\sqrt{2gh}$
聯(lián)立解得：h=0.45m
（2）物塊到達(dá)A速度為：v_A=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s
從A到B，由動能定理得：
mgLsin37°-μmgcos37°•L=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：v_B=$\sqrt{33}$m/s
從A到D，由動能定理得：
mgLsin37°-μmgcos37°•L-mgRcos37°=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：v_D=5m/s
（3）物塊最后在B與其等高的圓弧軌道上來回運(yùn)動，經(jīng)過C點(diǎn)的壓力最小，由B到C的過程，由機(jī)械能守恒定律得：
mgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：N=1.4N
由牛頓第三定律得，物塊通過C點(diǎn)處，軌道對物塊的最小壓力為：
N′=N=1.4N
答：（1）小物塊的拋出點(diǎn)和A點(diǎn)的高度差是0.45m；
（2）小物塊第一次通過B、D點(diǎn)時的速度分別為$\sqrt{33}$m/s和5m/s．
（3）物塊通過C點(diǎn)處，軌道對物塊的最小壓力為1.4N．

點(diǎn)評 本題是多過程，關(guān)鍵要把握每個過程的物理規(guī)律和過程之間的關(guān)系，知道物塊最后不是靜止在C點(diǎn)，而是以C為中心做往復(fù)運(yùn)動．