Question

7．在第二象限內有水平向右的勻強電場，在第一象限內存在一個垂直于xOy平面但方向未知的圓形勻強磁場，圓形磁場與x軸相切于B點，與y軸相切于A點．第四象限內存在勻強磁場，方向如圖所示，第一、四象限內勻強磁場的磁感應強度大小相等．現有一個質量為m、電荷量為q的帶電粒子在該平面內從x軸上的P點，以垂直于x軸的初速度v₀進入勻強電場，恰好經過y軸上的A點且與y軸成45°角射出電場，再經過一段時間又恰好經過x軸上的B點進入下面的磁場．已知OP之間的距離為d，不計粒子的重力，求：
（1）A點的坐標；
（2）第一象限圓形勻強磁場的磁感應強度B₀的大小及方向；
（3）帶電粒子自進入電場至在磁場中第二次經過x軸的時間．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子垂直進入勻強電場中做類平拋運動，豎直方向做勻速直線運動，水平方向做初速度為零的勻加速直線運動，運用平均速度分別表示水平位移和豎直位移．將粒子在A點的速度進行分解，得到兩個分速度的關系，即可求出O點到A點的距離．
（2）畫出帶電粒子在磁場中運動的軌跡．由幾何關系求出粒子圓周運動的半徑，由牛頓第二定律求解B₀的大小及方向．
（3）可求出圓周運動的周期，根據軌跡所對的圓心角求出粒子在磁場中運動的時間．粒子在電場中豎直方向做勻速直線運動，由A的縱坐標和初速度可求出時間．即能求得總時間．

解答 解：（1）設A點的縱坐標為h，到達A點的水平分速度為v_x，則由類平拋運動的規(guī)律可知
豎直方向勻速直線運動，有：h=v₀t
水平方向勻加速直線運動平均速度為：$\overline{v}$=$\frac{0+{v}_{x}}{2}$
d=$\frac{1}{2}$v_xt
根據速度的矢量合成有：tan45°=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{0}}$
可得：h=2d
（2）粒子在磁場中向下偏轉，由左手定則可知，磁場的方向向外；
粒子在磁場中的運動軌跡如圖所示，設粒子在磁場中運動的半徑為R，周期為T．則由幾何關系可知：R=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$d=$\sqrt{2}$d
帶電粒子進入磁場時的速度大小為：v=$\sqrt{2}$v₀
則由牛頓第二定律得：qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯立解得：B₀=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$
（3）粒子在磁場中運動的周期為：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πd}{{v}_{0}}$
設粒子在電場中的運動時間為t₁，有：t₁=$\frac{2d}{{v}_{0}}$
設粒子在磁場中的運動時間為t₂，由圖可知，粒子在兩處磁場中運動的時間為：t₂=$\frac{1}{2}$T+$\frac{3}{4}$T=$\frac{7}{4}$T=$\frac{7πd}{2{v}_{0}}$
則總時間為：t=t₁+t₂=$\frac{（4+7π）d}{2{v}_{0}}$
答：（1）A點的坐標為（0，2d ）；
（2）第一象限圓形勻強磁場的磁感應強度B₀的大小$\frac{m{v}_{0}}{qd}$，方向垂直于紙面向外；
（3）帶電粒子自進入電場至在磁場中第二次經過x軸的時間是$\frac{（4+7π）d}{2{v}_{0}}$．

點評 對于類平拋運動，采用運動的分解法研究，要抓住兩個分運動的等時性．對于粒子在磁場中的圓周運動，畫軌跡是關鍵．